|
3- mavzu: algebraning asosiy teoremasi. Viyet formulasi. Ratsional kasr. Uchinchi va to’rtinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish. Kardano va ferrari formulalari. Teorema
|
| bet | 1/3 | | Sana | 12.05.2023 | | Hajmi | 1.09 Mb. | | #59000 |
Bog'liq 3-MAVZU- ALGEBRANING ASOSIY TEOREMASI 12-modul. Yog‘ochga ishlov berish texnologiyasi . Duradgorlikning xalq, Elektron tijorat, Fazik 2021 maqola, TAT ochiq dars, 103, 3-kurs o\'quv amaliyoti dasturi, bildirish, Maqsadli ko`rsatkich, Boltayev Ruslan, Raxmatova Xumora 4z guruh mustaqil, 1 biologiya, avtoreferat, 2-kurs o\'quv amaliyoti dasturi, Статья Сувонова О О, Academic-Data-353211105300
3- MAVZU: ALGEBRANING ASOSIY TEOREMASI. VIYET FORMULASI. RATSIONAL KASR. UCHINCHI VA TO’RTINCHI DARAJALI ALGEBRAIK TENGLAMALARNI YECHISH. KARDANO VA FERRARI FORMULALARI.
Teorema. F maydon ustida berilgan va darajasi 1 dan kichik bo’lmagan har bir ko’phad shu F maydon ustida keltirilmaydigan ko’phad yoki keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoyiladi va bu yoyilma ko’paytuvchilari o’zgarmas ko’paytuvchilargacha aniqlik darajasida yagonadir.
Algebrannig asosiy teoremasi. Darajasi 1 dan kichik bo’lmagan kompleks koeffitsientli har qanday ko’phad kamida bitta kompleks ildizga ega.
Misol. f(x)= x3+9x-26 ko’phad x1=2, x2,3=-1±2 i ildizlarga ega.
Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
Natija. Kompleks sonlar maydon ustidagi n-darajali ko’phadning n ta ildizi mavjud.
Natija. n-darajali f(x) ko’phad x ning n tadan ortiq har xil qiymatlarida nolga teng bo’lsa, u holda f(x) nolь ko’phad bo’ladi.
Natija. Darajalari n dan yuqori bo’lmagan f(x) va φ(x) ko’phadlar x ning n tadan ortiq har xil qiymatlarida bir-biriga teng bo’lsa, u holda f(x) va φ(x) ko’phadlar o’zaro teng bo’ladi.
Misol. 1. f(x)= x4-2x+3 ko’phad Q ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmaydigan ko’phad bo’ladi, lekin S kompleks sonlar sonlar maydoni ustida keltiriladigan ko’phaddir.
2. f(x)= x2+x+1+i ko’phad kompleks sonlar maydoni ustida ikkita kompleks ildizga ega.
Berilgan ko’phadni ko’phadga bo’lishni quyidagi jadval asosida bajarish mumkin:
Teorema. Kompleks sonlar maydoni ustida ko’phad berilgan bo’lib, lar ko’phadning ildizi bo’lsa, u holda ushbu
munosabatlar o’rinli bo’ladi. (1) formulani Viet formulasi deyiladi.
Misol. ko’phadni karrali ko’paytuvchilarga yiing.
Yechish. ko’phadni keltirilmaydigan ko’phadlarga kanonik yoyilmasini quyidagi jadvaldan foydalanib topamiz.
maydonda , bo’lsin, ko’phadlarni quyidagicha aniqlaymiz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...............................
|
........................
|
..................
|
|
|
|
|
|
|
Berilgan ko’phad uchun Evklid algoritmi yordamida larni topamiz: .
;
;
;
;
Bulardan, ; ; lar kelib chiqadi.
Demak, .
Ratsional kasrlar.
Uchinchi va to‘rtinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish.
1. Uchinchi darajali tenglamalarni yechish. Kardano formulasi. Kompleks sonlar maydoni ustidagi ushbu
ax3+bx2+cx+d=0, (a0) (1)
ko’rinishdagi tenglama uchinchi darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi. (1)- tenglamaning har ikkala tomonini a ga bo’lib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:
. (2)
(2)da almashtirishni kiritib (3)
tenglamani hosil qilamiz. (3) - tenglamani soddalashtirgandan keyin
y3 +py +q=0 (4)
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. (4)- tenglamadagi y o’zgaruvchi o’rniga ikkita u va v o’zgaruvchilarni y=u + v tenglik yordamida kiritamiz. Nati-jada (u+v)3 +p(u+v) + q=0 yoki
u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0 (5)
tenglamaga ega bo’lamiz. (5) da u va v larni shunday tanlaymizki, natijada
3uv + p = 0 (6)
shart bajarilsin. Bunday talab qo’yishimiz o’rinli, chunki
tenglamalar sistemasi y berilganda yagona yechimga ega.
(5) dan
u3 + v3 = - q . (7)
(6) dan u3v3=- p3 / 27 bo’lgani uchun u va v lar Viyet teoremasiga asosan biror
z2 +qz - p3 / 27 =0 ko’rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. Bu tenglamani yechib
z1= u3= (8)
ni hosil qilamiz. (8) dan
u= v=
lar topilib, u va v ning har biriga 3ta qiymat, y o’zgaruvchi uchun esa to’qqizta qiymat topiladi. Ulardan (6)-shartni qanoatlantiruvchilarini olamiz. U holda (4) -tenglamaning barcha yechimlari topiladi.
Agar u, u , u 2 (bunda soni 1 dan chiqarilgan uchinchi darajali ildizlardan biri, ya’ni 3 =1) lar z1 ning uchinchi darajali ildizlarining qiymatlari bo’lsa unga mos z2 ning uchinchi darajali ildizlari qiymatlari v, v2, v dan iborat buladi. Natijada (4)- tenglama ushbu
y1= u+v, y2= u +v 2, y3= u 2 +v (9)
ildizlarga ega bo’lib, unda bo’lganligidan
y1=u+v, y2= (10)
yechim hosil bo’ladi. (10) va ni e’tiborga olib (1)- tenglamaning
, ,
ildizlari topiladi.
2. Haqiqiy koeffitsiyentli uchinchi darajali tenglamalarni tekshirish. Endi haqiqiy koeffitsiyentli uchinchi darajali tenglama ildizlarini tekshiraylik. Quyidagi teorema uchinchi darajali tenglamaning haqiqiy va mavhum ildizlari sonini aniqlaydi.
Teorema. Agar
x3+px+q=0 (11)
tenglama haqiqiy koeffitsiyentli tenglama bo’lib,
bo’lsa, u holda quyidagi mulohazalar o’rinli bo’ladi:
a) agar >0 bo’lsa, (11)-tenglama bitta haqiqiy va ikkita o’zaro qo’shma mavhum ildizlarga ega;
б) =0 bo’lsa, (11) ning barcha ildizlari haqiqiy va kamida birtasi karrali;
с) agar <0 bo’lsa (11) - tenglamaning ildizlari haqiqiy va turlicha bo’ladi.
Isboti. a). >0 bo’lsa, u holda z1 va z2 ildizlar haqiqiy va har xil bo’ladi. Demak ildizlardan kamida birtasi, masalan z1 noldan farqli bo’ladi.
soni z1 ning arifmetik ildizi bo’lsin. Shuning uchun u haqiqiy son bo’ladi. uv= - p/3 tenglikka asosan v xam haqiqiy son bo’ladi. z1 z2 bo’lganligi sababli u3 v3 bo’ladi, bunda u v munosabatning o’rinli ekanligi ravshan. (10) ga asosan
(12)
bo’lib, u va v lar haqiqiy hamda turli sonlar bo’lganligi uchun (12) da x1 haqiqiy, x2 va x3 lar o’zaro qo’shma mavhum sonlar bo’ladi.
б) =0 bo’lsin. Agar =0 va q0 bo’lsa, u holda z1= z2 = - q/2 0 bo’ladi.
son -q/2 ning arifmetik ildizi bo’lsin. uv=-p/3 haqiqiy son bo’lgani uchun - haqiqiy son bo’ladi, ya’ni u=v 0 bo’ladi. (12) formula-ga asosan x1=2u0, x2=x3=-u bo’ladi. Shunday qilib q0 bo’lganda (11)-tenglama uchta haqiqiy ildizga ega va ulardan bittasi karrali bo’ladi.
Agar =0 va q=0 bo’lsa, u holda p=0 bo’ladi. Bu holda (11) tenglama x3=0 ko’rinishda bo’lib, x1=x2=x3=0 bo’ladi.
с) <0 bo’lsin. U holda bo’ladi. Demak z1 , z2 son-lari o’zaro qo’shma mavhum sonlar ekan. Shuning uchun ham
z1 z2 (13)
va z1 z2 (14)
munosabat o’rinli. (6) va (8) ga ko’ra
u3= z1, v3= z2, uv= - p/3 (15)
bo’lgani uchun (13) va (15) dan u3 v3 bo’lib, bundan
u v (16)
kelib chiqadi. (14) ga asosan u v munosabat ham o’rinlidir. (6) ga ko’ra uv= - p/3 bo’lib, bundan uv= -p/3 kelib chiqadi. Shartga asosan p<0. (16)ga ko’ra
-p / (3u2)=1 (17)
tenglik bajariladi. (15) va (17) larga asosan v=-p/(3u)=
= - , ya’ni
(18)
tenglik o’rinlidir. (12)- formuladagi v ni bilan almashtirsak va u v ni e’tiborga olsak, x1, x2, x3 ildizlar haqiqiy va har xil ekanligi ma’lum bo’ladi. Haqiqatan ham (12) formuladan x2 x3 kelib chiqadi. Faraz qilaylik, x1= x2 bo’lsin. U holda (9) ga asosan u+v = u+v 2 bo’lib bundan u(1-)=v( 2-1) yoki u = v 2 kelib chiqadi. Bundan z1=z2 va =0 tengliklar kelib chiqadi.Bu esa <0 shartga qarama-qarshidir. Xuddi shuningdek, x1 x3 ekanligini ham ko’rsatish mumkin.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
3- mavzu: algebraning asosiy teoremasi. Viyet formulasi. Ratsional kasr. Uchinchi va to’rtinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish. Kardano va ferrari formulalari. Teorema
|
