b) To`g`ri to`rtburchak , trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Endi yuqorida qurilgan kvadratur formulalarning qoldiq hadlarini aniqlash bilan shug`ullanamiz. To`g`ri to`rtburchak formulasining qoldiq hadi
R0(f) = f(x)dx-(b-a)f(
n i topish uchun f(x) funksiya [a, b] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz f"(x) hosilaga ega bo`lsin deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko`ra:
b u yerda Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha integrallasak
kelib chiqadi, chunki Quyidagicha belgilash kiritaylik:
т =
Integral ostidagi funksiya o`z ishorasini saqlaydi, shuning uchun (2.7) integralga umumlashgan o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llash mumkin:
(2.8)
bunda uzluksiz bo`lgan uchun Koshi teoremasiga ko`ra shunday , topiladiki, L= . Endi (2.8) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
(2.9)
Bu esa qoldiq hadning izlanayotgan ko`rinishidir.
Endi trapetsiya formulasining qoldiq hadini topaylik. Buning uchun f(x) funksiyani x = a va x = b nuqtalardagi qiymatlari yordamida interpolyatsiyalab, interpolyatsion formulani qoldiq hadi bilan yozamiz:
f(х)-L1(х) =
B u tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha integrallaymiz, natijada
hosil bo`ladi. Bu yerda [a,b ] oraliqda (x-a)(x-b) 0 bo`lgani uchun R1(f) integralga o`rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo`llash mumkin:
(2.10)
Nihoyat, Simpson formulasining qoldiq hadini aniqlaylik. Buning uchun
с = 0,5 (а +b) deb olib, quyidagi
H(a)=f(a), H(c)=f(c),
shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion ko`phadini tuzamiz:
Ravshanki,
Endi funksiyalarni interpolyatsiyalashga ko`ra f(x)=H(x)+ r(x) interpolyatsion formulaning qoldiq hadi
r(x) =
bo`lib, bu yerda (х) = (х-а) (х-с)2 (х- b).
Demak, (2.3) formulaning qoldiq hadi
R2(f) =
bo`lib, (x) ko`phad [a, b] oraliqda o`z ishorasini saqlaydi va umumlashgan o`rta qiymat teoremasiga ko`ra ga ega bo`lamiz.
Qoldiq hadlar uchun chiqarilgan formulalar yana bir bor shuni ko`rsatadiki, to`g`ri to`rtburchak va trapetsiya formulalari birinchi darajali ko`phadlar uchun aniq bo`lib, Simpson formulasi uchinchi darajali kop`hadlar uchun aniq formuladir.
|
