| 2.2. Spinlari yarim butunga teng bo`lgan ikkita aynan zarrachalardan iborat sistemalari uchun to`lqin funksiyalari
Ikkita spinlari ga teng bo`lgan zarrachalardan iborat sistemani qaraymiz. Misol sifatida ikkita elektron yoki ikkita protonnin olish mumkin.
to`liq to`lqin funksiya ikkala zarrachalarning fazoviy va spin koordinatalariga bog’liq va bu o`zgaruvchilarga nisbatan antisimmetrik funksiyaki, tashqi magnit maydon mavjud emas va zarrachalar o`rtasidagi o`zaro ta’sir ularning spiniga bog’liq emas. Umumiy to`lqin funksiyani faqat fazoviy va spin o`zgaruvchilarga bog’liq bo`lgan to`lqin funksiyalarning ko`paytmasi sifatida ifodalaymiz :
(2.2.1)
Sistemaning to`liq spin funksiyasi 𝜑ni spin kvadrati operatorining xususiy funksiyalari va Z o`qida har bir zarrachaning spin operatori proyeksiyalari ko`paytmasi sifatida ifodalaymiz ya’ni .
Bu yerda indeks Z o`qiga spin proyeksiyasini qavs ichidagi son zarrachaning nomeri.
Umumiy holda funksiyani quyidagicha yozish mumkin:
(2.2.2)
Bu yerda va - ixtiyoriy amplitudalar.
Spin to`lqin funksiyalarni aniqlaymiz. Ular to`liq spin bu berilgan sistemaning holatini va uning Z o`qidagi proyeksiyasini ifodalaydi.
Umumiy holda barcha spinlar momentlarini qo`shish qoidasiga asosan toiladi. U holda ikkita zarachadabn iborat sistemaning to`liq spini ikkita qiymatni qabul qiladi.
va .
Z o`qiga uning proyeksiyasi ms ravishda va qiymatlarni va da, qabul qiladi.
Berilgan va holatlar bilan ifodalanadigan 𝜑 funksiyalar quyidagi tenglamalarni qanoatlantiradi:
(2.2.3)
Bu yerda sistemaning to`liq spin operatori
va koeffitsientlar shunday tanlanishi kerakki, (3) sistemadagi ikkala tenglamani qanoatlantirishi kerak.
Sistemaning spin funksiyasi barcha yuqoridagi shartlarni qanoatlantirsa, uni quyidagicha yozish mumkin:
(2.2.5)
Yuqoridagi indeks ikkita zarrachalarning to`liq spinini pastdagi esa – Z o`qidagi proyeksiyasini ko`rsatadi.
Bu natijani boshqa usullsrni qo`llab ham olish mumkin. (2.2.4) – spin funksiyalar 1 – va 2 – zarachalarning o`rni almashganda o`zgarmaydi, ya’ni 1 . Va demak bu funksiyalar zarrachalar spinlarida simmetrik. Bunday spin funksiyalar spin triplet hosil qiladi. Tripletning uch komponentasi yig’indisi spini birga teng bo`lgan zarrachaning uch komponentali to`lqin funksiyasiga ekvivalent. (2.2.5) tenglama bilan berilgan spin funksiya spini nolga teng bo`lgan spin singletini hosil qiladi.
skalyar ko`paytmaning xususiy qiymatlarini singlet va triplet holatlar uchun aniqlaymiz. Bu ko`paytmadan keyinchalik foydalanamiz.
bo`lgani uchun
(2.2.6)
O`ng tomonga va operatorlarning xususiy qiymatlarini qo`ysak,
(2.2.7)
Triplet holat uchun S=1 va
(2.2.8)
Mos ravishda singlet holatda S=0
(2.2.9)
Endi fazoviy o`zgarishlar bo`yicha funksiyani qaraymiz. (2.1.1) to`lqin funksiya antisimmetrik bo`lgani uchun, S=1 holatda koordinataviy to`lqin funksiya antisimmetrik, S=0 holatda esa simmetrik bo`ladi. Agar zarrachalar o`zaro ta’sirlashmasa va qandaydir holatlarda bo`lsa, u holda koordinataviy funksiya quyidagi ko`rinishga keladi:
S=1 (2.2.10)
(2.2.11)
Umumiy holda va koordinatalarga o`tiladi. Bu koordinatalar sistema og’irlik markazining harakatini va zarrachalarning nisbiy harakatini ifodalaydi.
(2.2.12)
(2.2.12) – to`lqin funksiyaning simmetriya va antisimmetriy talablari qanday natijalarga olib kelishini aniqlaymiz. Aytish lozimki, zarrachalarning o`zaro ta’sir potensiali faqat ular orasidagi masofaga bog’liq bo`lsa u holda harakat miqdorining orbital momenti qanday sistemada saqlanadi? Endi zarrachalarning koordinatalari o`rnini almashtiramiz. bunday almashtirishda og’irlik markazining radius vektori , D, to`lqin funksiya ham o`zgarmaydi. Harakatga nisbatan radius – vektor ishorasini o`zgartirmaydi.
. Zarrachalarning nisbiy harakati bilan bog’liq orbital moment l kvant soni bilan berilgan va aniqlangan bo`lsa funksiyani ni ga almashtirish qonuniga asosan,
(2.2.13).
Ko`ramizki, bu holda (2.2.12) – koordinataviy to`lqin funksiya zarrachalar o`rni almashganda quyidagi ko`rinishga keladi.
(2.2.14)
(2.2.14) – dan ko`rinadiki, zarrachalar triplet holatda ya’ni bo`lsa, l kvant soni faqat singlet holatda bo`lsa, ya’ni da l kvant soni faqatgina juft qiymatlarni qabul qiladi.
|
