|
Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi Reja
|
| bet | 1/2 | | Sana | 30.11.2023 | | Hajmi | 295,25 Kb. | | #108237 |
Bog'liq Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi
Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi
Reja:
1. Tebranma harakat haqida tushuncha
2. Garmonik tebranma harakat kinematikasi va dinamikasi
3. Garmonik tebranma harakat energiyasi
4. Matematik, fizik, prujinali mayatniklar va tebranish konturi
5. Garmonik tebranishlarning differensial tenglamasi
Tebranma harakat tabiatda va texnikada ko’p uchraydi. Masalan, osma soat tebranishi, musiqa asbablarining torlari; va daraxt shoxlarining harakati –tebranma harakatdir.
Tebranish yoki tebranma harakat deb, jismlarning muvozanat vaziyati atrofida to’g’ri chiziq yoki yoy bo’ylab goh bir tomonga, goh ikkinchi tomonga siljigandagi harakatiga aytiladi. Tebranishlarning takrorlanishi ya’ni ularning davriyligi tebranishlarning eng asosiy alomatidir. Tebranishlar erkin va majburiy bo’ladi. Tashqi kuchning ta’sirisiz (ichki kuchlar ta’sirida) vujudga keladigan tebranishlarga erkin tebranishlar deyiladi. Tashqi davriy kuchlar ta’sirida vujudga keladigan tebranishlarga majburiy tebranishlar deyiladi. Yana bir turiga avtotebranishlar deyiladi. Avtotebranishda, tashqi kuchning ta’siri sistemaning o’zini vositasida amalga oshiriladi. Osma soat mayatnigining tebranishi avtotebranishdir. Tebranma jarayonlarning fizik tabiati va murakkablik darajasi jihatidan turlicha bo’lishga qaramay, ularning hammasi umumiy qonuniyatlar asosida ro’y beradi va garmonik tebranishlarga keltirilishi mumkindir. Garmonika so’zi grekcha «garmonikos»-kelishgan, xushbichim ma’nosini beradi.
Fizikaviy kattaliklarning vaqt o’tishi bilan sinus va kosinus qonuniga muvofiq davriy o’zgarishlariga garmonik tebranishlar deyiladi. Aksinchasiga esa nogarmonik tebranishlar deb ataladi. Garmonik tebranishlar tebranma harakatlar ichida eng muhimi bo’lishi bilan birga eng oddiysi hamdir.
Agar jism tebranayotgan yoki orqaga va oldinga bir yo’ldan harakat qilayotgan bo’lsa va har bir tebranish shu vaqt oralig’ida sodir bo’lsa – bu harakat davriy deb ataladi.
Davriy harakatning oddiy shakli - bu prujina uchidagi bir obyekt tebranishi tomonidan taqdim etiladi.Bu tizim tebranishni boshqa ko'plab turlari bilan chambarchas o'xshaydi, biz buni batafsil korib chiqamiz.
Yuqoridagi rasmdagi prujina massasini xisobga olmagan xolda va u prujina gorizantal xolda joylashgan, shunday qilib m massaga ega bo’lgan jism - yuza ustida ishqalanishsiz xarakatlanmoqda. Har qanday prujina bir tabiiy uzunligi mavjudki bu uzinlikda u m massali jismga prujina tasir otkazmaydi va bu muvozanat holati deb ataladi. Agar massa chap tomonga xarakat qilsa bu prujinani siqilishiga olib keladi, yoki o’ng tomonga xarakat qilsa bu prujinani cho’zilishiga olib keladi. M massali jismga prujina o’z kuchli tasirini korsatadi, va bu tasir yonalishi m massali jismni muvozanat holatiga qaytaradi, shu sababli, bu kuch qaytarilish kuchi deb nomlangan.
Prujina erkin holatda vertikal osilgan F = 0 = mg - kx0 bo`lganda yangi muvozanat vaziyatida prujinaga m massali jism osilgandan so`ng niam sodir bo`lishi x hozirda bu chiziqdan o`lchangan. Qachonki biz umumiy vaziyatda qaytalanish kuchi F x siljishga togri proporsional xolda deb hisoblaymiz. Biz umumiy vaziyatni taxmin qilishimiz mumkin, qaytaruvchi kuch F muvozanat joydan qisiladi joy o'zgartirish x yoki siqilgan to'g'ri proportsional bo'ladi va u F=-kx
teng bo’ladi.
Kinematika harakatni keltirib chiqaradigan kuchlarni hisobga olmasdan harakatni o'rganishni anglatadi. Garmonik tebranish harakatida u tebranishlarni boshdan kechirayotgan jismning holatini, tezligini va tezlanishini tahlil qilishni o'z ichiga oladi. Garmonik harakat kinematikasidagi asosiy parametrlar amplituda, davr, chastota va fazadir.
Dinamika esa kuchlarni va ularning jismning harakatiga ta'sirini o'rganishni o'z ichiga oladi. Garmonik tebranish harakati holatida ob'ektga ta'sir qiluvchi asosiy kuch tiklovchi kuch bo'lib, odatda buloq yoki tortishish bilan ta'minlanadi. Qayta tiklash kuchi ob'ektning muvozanat holatidan siljishi bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir va teskari yo'nalishda harakat qiladi. Garmonik harakat dinamikasini tavsiflovchi tenglama F = -kx, bu erda F - tiklovchi kuch, k - bahor doimiysi, x - siljish.
Dinamik tenglamaga Nyutonning ikkinchi harakat qonunini (F = ma) qo‘llash orqali garmonik tebranish harakati uchun harakat tenglamasini chiqarishimiz mumkin, u odatda x = A*cos(ōt + ph) shaklida ifodalanadi, bunda x – siljish. , A - amplituda, ō - burchak chastotasi (ō = 2pf, bu erda f - chastota), t - vaqt va ph - faza doimiysi.
Ushbu tenglamadan foydalanib, biz garmonik harakatning turli tomonlarini, masalan, maksimal siljish, tezlik, tezlanish va tebranish vaqtini aniqlashimiz mumkin.
Oldingi misollarda korib chiqilgan,oddiy prujina chozilishi yoki siqilishi xolatini energetic tomondan ifodalab berish judayam qulay. Chunki prujina oz muvozanat xolatidan chiqarilgan bolsa u oz ichida potencial energiyaga ega bolib turadi.
va jami energiya bu kinetik xamda potencial energiyalar summasidir,
|
|
Prujina tebrangani tufayli energiya potensialdan kinetikka almashadi va aksincha.
|
Ishqalanish arzimas bo'lsa SGT sodir bo'lishi mumkin. Umumiy mexanik energiya E prujina xar bir xolatida oz energetic qiymatlariga ega bolib turadi. Energiya uzluksiz qayta-qayta kinetik energiyadan potensial energiyaga o'zgarib turadi va bu xol har bir sikl takrorlana beradi.
Bu ekstremal qismlarda (prujina xarakat yonalishini ozgartirgan nuqtalar) toliq mexanik energiya amlituda kvadratiga teng boladi, muvozanat xolatida esa toliq mexanik energiya Kinetik energiyaga teng boladi.
Amplituda ikki kara oshishi. Nima uchun sodir bo'ladi? (A) tizimi, energetika, turilishi massasi maksimal tezligi, (C) massasi maksimal tezlashtirish? Rasmga prujina 2 marta ko`p uzaydi (x = 2A amplitudaga) deb faraz qilamiz. Sistema energiyasi, tebranayotgan jismning maksimal tezligini, hamda maksimal tezlanishini toping. Yechim. tenglamadan , mexanik energiya A amplituda kvadratiga proporsional bo`ladi, ya`ni 2 marta uzayganligi uchun energiya 4 marta ortadi.Siz e`tiroz bildirishingiz mumkin “Men prujinani x=0 dan x=A gacha cho`zib ish bajardim, va bu bajargan ishim x =A dan x=2A gacha cho`zib bajargan ishimga teng emasmi?” lkn aslida bunday emas. Chunki siz berayotgan kuchingiz x masofaga proporsional shuning uchun 2-safar x=A dan x=2A gacha bajargan ishingiz 1 – galdagi (x=0 dan x=A gacha) bajargan ishingizdan ko`proq ish bajarasiz. Tenglamadan, amplituda 2 marta oshirilsa maksimal tezlik ham 2 marta oshishini ko`ra olamiz. Biz prujinani dastlabkidan 2 marta ko`p cho`zsak unga beradigan kuchimiz ham 2 marta ortadi (F=kx ligi sababli).shu sababli tezlanish ham 2 marta oshadi : a-F-x 1.
Sodda garmonik ossiyalltor tebranishlarining davri prujinaning bikrligiga, shuningdek m massasiga bog‘liq ekan. Biroq, ajablanarlisi shundaki, amplitudaga bog‘liq emas. Buni soat taqib, kichik amplituda bilan, so‘ngra katta amplituda bilan tebranayotgan prujinaning 10 yoki 20 siklini tekshirib ishonch hosil qilishingiz mumkin1.
Davr quyidagi tenglama bilan beriladi:
Ko‘rib turibmizki, massa qancha katta bo‘lsa, davr shuncha katta ekan; va qattiqroq prujinalarda ( kattaroq) davr shuncha kichik ekan. Bu ma’noga ega, chunki massa qancha katta bo‘lsa, jismlar shuncha inertroq, va demak, reaksiya sekinroq (tezlanish kichikroq) bo‘ladi. Va ning kattaligi kuchning kattaligini bildiradi va, demak, tezroq reaksiya (kattaroq tezlanish) beriladi. Tenglama to‘g‘ri proporsional emasligini ko‘rsatadi: davr dan kvadrat ildiz kabi o‘zgaradi. Masalan, davrni ikki marta orttirish uchun massa to‘rt marta katta bo‘lishi kerak. Tenglama eksperiment bilan to‘la mos keladi va nafaqat prudina uchun, balki sodda garmonik harakatning barcha turlari, ya’ni siljishga proporsional qaytaruvchi kuch ta’sirid harakatlanuvchi sub’ektlar uchun o‘rinlidir.
Biz tenglamadan foydalanib chastotani quyidagicha yozishimiz mumkin:
Biz tekis aylanma harakat qilayotgan ob’ektga nisbatan sodda garmonik harakat davri uchun formulani keltirib chiqarishimiz mumkin. Xuddi shu “tayanch doirasi”dan ikkinchi foydali natijani – tebranayotgan massa holatining vaqtga bog‘liqlik formulasini olishimiz mumkin. Chiziqli tebranayotgan prujinada hech narsav aylanma harakat qilmaydi, biroq biz bunday matematik o‘xshashlikni foydali deb bilamiz. Rasmda ko‘rsatilgandek massali kichik ob’ekt radiusli aylana bo‘ylab soat strelkasiga qarshi o‘zgarmas tezlik bilan qilayotgan harakatini qarab chiqamiz. Agar yuqoridan qaralsa, harakat tekislikda aylanadan iboratligi ko‘rinadi. Biroq harakatni stol chekkasidan kuzatuvchi oldinga va orqaga tebranma harakatni ko‘radi, va bu bir o‘lchovli harakat sodda garmonik harakatga aniq mos keladi.
|
|
(a) Kichik ob’ektning aylanma harakati, (b) aylanma harakatning o‘qiga proeksiyasi
|
Kuzatuvchi ko‘rgan narsa aylanma harakatning o‘qiga proeksiyasidir (11-7b-rasm). Bu harakatni ko‘rish uchun SGT ga o‘xshab, tezlikning 11-7a-rasmda bilan belgilangan tashkil etuvchisini hisoblab topamiz. a-rasmdagi ikkita uchburchak o‘xshash bo‘lib,
Bu tenglamada ko‘rganimizdek, massali tebranuvchi jismning tezligi tenglamasidir. Shunday qilib, aylanma harakat qilayotgan ob’ekt harakatining o‘qiga proeksiyasi sodda garmonik tebranayotgan massali ob’ektning harakati kabidir1.
Endi biz SGT davrini aniqlashimiz mumkin, sunki u aylanma harakat qilayotgan ob’ektimizning bitta to‘liq aylanish uchun sarflaydigan vaqtiga teng. Avvalo, tezlik aylananing uzunligini (masofani) davrga bo‘lganimizga teng.
Holatning vaqtga bog‘liqligi
Endi sodda garmonik harakat qilayotgan massali jismning holatini vaqt funksiyasi sifatida topish uchun tayanch doirasidan foydalaniladi. 11-7-rasmdan ob’ekt holatining o‘qiga proeksiyasi
ekanligini ko‘ramiz. Massa tayanch doirasida o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanadi. Bundan deb yoza olamiz, bu erda radianlarda o‘lchanadi.
Har qanday real tebranishlarda, tebranishlarning energiyasi ishqalanish kuchlarini yengishi hamda tebranish sodir bo’layotgan muhitning qarshilik kuchlari (muhit zarrachalarini tebratish) ni engish uchun sarflanib boradi. Natijada tebranishlar so’nadi. Muvozanat vaziyatidan chiqarilgan sistemalarni tashqi kuchlar ta’sirisiz, ichki kuchlar ta’siridagi tebranishlariga so’nuvchi (erkin) tebranishlar deb ataladi. Prujinali va matematik mayatniklarning tebranishlari so’nuvchi tebranishlarga misol bo’ladi. Tajribalarning ko’rsatishicha, kichik tezliklar uchun muhitning qarshilik kuchi, shu jumladan ishqalanish kuchi ham, tezlikka mutanosib (proporsional) bo’lib, harakat yo’nalishiga nisbatan teskari yo’nalgan bo’ladi.
Har qanday real tebranishlarda, tebranishlarning energiyasi ishqalanish kuchlarini yengishi hamda tebranish sodir bo’layotgan muhitning qarshilik kuchlari (muhit zarrachalarini tebratish) ni engish uchun sarflanib boradi. Natijada tebranishlar so’nadi. Muvozanat vaziyatidan chiqarilgan sistemalarni tashqi kuchlar ta’sirisiz, ichki kuchlar ta’siridagi tebranishlariga so’nuvchi (erkin) tebranishlar deb ataladi. Prujinali va matematik mayatniklarning tebranishlari so’nuvchi tebranishlarga misol bo’ladi. Tajribalarning ko’rsatishicha, kichik tezliklar uchun muhitning qarshilik kuchi, shu jumladan ishqalanish kuchi ham, tezlikka mutanosib (proporsional) bo’lib, harakat yo’nalishiga nisbatan teskari yo’nalgan bo’ladi.
Kosinus funksiyasi 1 dan – 1 gacha oraliqda o‘zgarishi sababli tenglamalar A bilan –A oralig‘ida o‘zgarishini, aslida ham shunday bo‘lishi kerakligini bildiradi. Rasmda ko‘rsatilgandek ruchka vibratsiyalanayotgan jismga biriktirib qo‘yilsa, va uning tagidagi qog‘oz o‘zgarmas tezlik bilan siljitilsa, sinusoidal egri chiziq chiziladi, bu esa (7-8) tenglamalardan aniq kelib chiqadi.
Sinusoidal harakat
Tenglamada qonun bilan tebranayotgan ob’ekt tebranma harakat tinch holatdan boshlanishini va uning maksimal siljishi ga mos kelishini bildiradi. SGT larning boshqa tenglamalari ham boshlang’ich shartlarga bog‘liq ravishda shunday bo‘lishi mumkin1.
Garmonik tebranishlarning asosiy qonuniyatlari va harakteristikalari bilan moddiy nuqtaning aylana bo’ylab tekis harakati misolida tanishish oson va tushunarlidir. M - moddiy nuqta A – radi-usli aylana bo’ylab soat strelkasi harakati yo’nalishiga teskari yo’nalishda o’zgarmas w - burchak tezlik bilan harakatlanayotgan bo’lsin.
Agar t=0 da, M nuqta M0 vaziyatda bo’lsa, biror t vaqtdan so’ng, u aylana yoyi bo’ylab harakatlanib j = wt burchakka siljiydi. M nuqta X va Y o’qlardagi proeksiyalarini mos holda K va L deb belgilasak, M nuqtaning aylana bo’ylab tekis harakati davomida bu nuqtalar X va Y o’qlari bo’ylab +A va –A oralig’ida davriy ravishda O nuqta atrofida siljiydi. K va L nuqtalarning t ga bog’liq holda siljishi rasmga ko’ra quyidagicha bo’ladi:
Garmonik tebranishlar ko’pincha chizma ravishda amplituda-vektor usuli bilan tasvirlanadi va bu usul vektor-diagramma usuli deb ataladi. Bu usulning mohiyati quyidagidan iborat: X o’qidagi ixtiyoriy 0 nuqtadan uzunligi tebranish amplitudasining son qiymatiga teng bo’lgan A vektorni shunday joylashtiriladiki, bu vektor OX o’qi bilan tebranishning boshlang’ich fazasi a ga teng bo’lgan burchak hosil qiladi. Agar A ni 0 nuqta atrofida soat miliga teskari yo’nalishda w0 burchak tezlik bilan aylantirilsa, A ning X o’qidagi proeksiyasi +A va –A orasida o’zgaradi.
Rasmdan ko’rinishicha t vaqtdan so’ng uning X o’qdagi proeksiyasi x = Acos(w0t+a) bo’ladi. Shunday qilib w0 chastota bilan sodir bo’layotgan garmonik tebranishni X o’qidagi, ixtiyoriy nuqta atrofida, w0 burchak tezlik bilan aylanuvchi A ning shu o’qdagi proeksiyaning vaqt bo’yicha o’zgarishi tarzida tasvirlash mumkin ekan: bunda t=0 paytdagi A ning X o’qi bilan hosil qilgan burchagi a tebranishining boshlang’ich fazasini ifodalaydi.
Moddiy nuqta bir vaqtning o’zida ikki va undan ortiq tebranishlarda qatnashishi mumkin. Masalan, harakatdagi vagon shipiga osilgan prujinali mayatnikning tebranishi bunga misol bo’la oladi. Tebrangich o’zining xususiy tebranishidan tashqari vagon bilan birgalikda tebranma harakatda ishtirok etadi. Faraz qilaylik, yo’nalishi va davri bir xil bo’lgan, boshlang’ich fazasi va amplitudasi bilan farq qiladigan ikkita garmonik tebranishlar tenglamasi berilgan bo’lsin:
x1=A1sin(wt+j1) va x2=A2sin(wt+j2).
Garmonik tebranishlarning differensial tenglami quyidagicha ko'rinishda ifodalanganadi:
d^2x/dt^2 + ω^2x = 0
Bu tenglama, garmonik tebranishning asosiy differensial tenglami hisoblanadi. Bu tenglama x(t) - obyektning tebranishni t(a) ifodalaydi, t - vaqtni ifodalaydi, ω - tebranishning angular chastotasi (omega) deb nomlanadi.
Bu tenglama, obyektning tebranishning to'g'ri oqimini ifodalaydi. x(t) funksiya, obyektni o'ziga xos o'zgaruvchanligini, t - vaqtni ifodalaydi. ω^2x - obyektni to'g'ri oqimining kvadrati bilan nisbatan ifodalangan kuchni ifodalaydi.
Bu tenglama, birinchi tartibli differensial tenglamadir, shuning uchun uning yechimi uchun bosh shartlar kerak bo'ladi. Masalan, obyektning boshlang'ich tezligi va boshlang'ich joyi kiritish kerak bo'ladi.
Bu tenglamani yechish orqali, obyektning tebranishning xususiyatlari, masalan, chastota, amplituda va fazani aniqlanishi mumkin.
Umuman olganda, garmonik tebranishlar, musiqiy qavatlarda, elektromagnitizm va mekanika sohalarda keng qo'llaniladi. Bu tenglama, ularning asosiy matematik modellari hisoblanadi.
Xulosa
Xulosa qilib aytganda, garmonik tebranma harakati massaning qonuniy kuchi (F = -kx) va undan hosil bo'lgan kuch momentlari bilan ifodalangan. Kinematika, ob'ektning tezlik va masofa o'zgarishini ta'riflaydi, dinamika esa massaning garmonik tebranmasidagi kuchini tasvirlaydi. Bu mavzular, mezonlar va tajribalar uchun keng foydalaniladi va har bir hollarda matematik modellash orqali muammolarni yechishda qo'llaniladi.
|
| |
