• Ключевые слова
  • Основная часть.
  • JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS WSRJournal.com Volume – 5_ Issue-4_May_2022 140
  • JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS WSRJournal.com Volume – 5_ Issue-4_May_2022 141
  • JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS WSRJournal.com Volume – 5_ Issue-4_May_2022 142
  • JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS WSRJournal.com Volume – 5_ Issue-4_May_2022 143
  • Journal of new century innovations in all areas journal of new century innovations




    Download 4 Mb.
    Pdf ko'rish
    bet117/190
    Sana18.10.2022
    Hajmi4 Mb.
    #27426
    1   ...   113   114   115   116   117   118   119   120   ...   190
    Bog'liq
    28-18-PB (1)
    Axborot xati konf. ADU, Mayers- Briggs qo\'shimcha, 36-qo\'shma qaror, 27.04.2022, Oila tushunchasi, uning turlari va shakillari, fHy1I56Pj1m1Sqci4f9q3e28B9S0AiBM, dars ishlanma, 11-21-ALGORITMIK TILLAR VA DASTURLASH, Мустақил ишни ташкиллаштириш, Иқтибослик учун, Документ Microsoft Word, Calendar plan-RAQAMLI VA AXBOROT TEXNOLOGIYALARI (2), статья, Исмаилова Н С , Шагазатов У У Жахон иқтисодиёти ва халқаро (1), A5
    WSRJournal.com
    Volume – 5_ Issue-4_May_2022 
    139 
    ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ 
    ИНТЕРПОЛЯЦИИ 
     
    Юнусов Насиржан 
    Андижанский государственный университет 
     
    Аннотация. В этой статье рассмотрена задача построение функции при 
    использованием формула Ньютона, а также нахождение значения функции 
    промежуточном точках. Этот метод часто используется при равномерных 
    шагах сетки.
    Ключевые слова: сетка, дискретные множество, конечные разности, 
    интерполяция. 
    Введение. В задачах интерполирование для функций заданных 
    равномерными сетками, с. шагом
    i
    i
    x
    x
    h



    1
    при постоянен. Рассмотрим 
    интерполяционных формула Ньютона для этого случай. С начало введем 
    понятие конечных разностей для непрерывной функции изменения аргумента 
    заменяющим дискретным множество точек так называемым сеткой [1].
    Основная часть. Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом: 


    i
    y

    i
    y
    2

    i
    y
    3

    …. 
    i
    k
    y

    x
    0
     
     
    x
    1
     
     
    x
    2
     
     
    x
    3
     
     
    x
    4
     
    … 
    y

     
    y

     
    y
    2
     
     
    y
    3
     
     
    y

    … 
    0
    y

    1
    y

    2
    y

    3
    y

    …. 
    0
    2
    y

    1
    2
    y

    2
    2
    y

    …. 
    0
    3
    y

    1
    3
    y

    …. 
    ….. 
    ….. 
    …… 


    JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS 
    WSRJournal.com
    Volume – 5_ Issue-4_May_2022 
    140 
    x
    n
     
     
    y

    Рис.1. 
    Разности между значениями функции в соседних узлах называются 
    конечными разностями первого порядка: 
    )
    1
    ....,
    ,
    1
    ,
    0
    (
    1






    n
    i
    y
    y
    y
    i
    i
    i
    . (1). 
    Из конечных разностей первого порядка можно получить конечные 
    разности второго порядка: 
    )
    2
    ....,
    ,
    1
    ,
    0
    (
    1
    2








    n
    i
    y
    y
    y
    i
    i
    i
    (2). 
    – это разность между двумя соседними разностями первого порядка. 
    Здесь
    1
    2
    1
    0
    1
    0
    ,
    y
    y
    y
    y
    y
    y






    и 
    0
    1
    0
    2
    y
    y
    y






    (Индекс «разности» идет по младшему индексу: 
    0
    1
    0
    y
    y
    y



    ). 
    Теперь определим конечные разности третьего порядка: 
    )
    3
    ....,
    ,
    1
    ,
    0
    (
    2
    1
    2
    3








    n
    i
    y
    y
    y
    i
    i
    i

    Разностей последующего порядка на одну меньше, чем предыдущего. 
    Имея n+1 значений y, можно получить разности до n-го порядка 
    включительно. Т.е. k в таблице равно n
    Конечные разности любого порядка могут быть представлены через 
    значения функции. Выразим конечные разности второго и третьего порядка 
    через значения функции:
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y



















    1
    2
    1
    1
    2
    1
    2
    2
    т.е. 


    JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS 
    WSRJournal.com
    Volume – 5_ Issue-4_May_2022 
    141 
    i
    i
    i
    i
    y
    y
    y
    y







    1
    2
    2
    2
    Для конечных разностей третьего порядка: 
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y


























    1
    2
    3
    1
    2
    1
    2
    3
    2
    1
    2
    3
    3
    3
    2
    2
    2
    т.е. 
    i
    i
    i
    i
    i
    y
    y
    y
    y
    y








    1
    2
    3
    3
    3
    3
    Существует формула 
    j
    i
    k
    j
    k
    k
    j
    j
    i
    k
    y
    C
    y







    0
    )
    1
    (
    , (3). 
    где 
    )!
    (
    !
    !
    j
    k
    j
    k
    C
    j
    k



    Найдем с помощью этой формулы, например 
    i
    y
    3


    1
    ,
    3
    ,
    3
    ,
    1
    )!
    0
    3
    (
    !
    0
    !
    3
    3
    3
    2
    3
    1
    3
    0
    3






    C
    C
    C
    C
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y
    y


































    1
    2
    3
    3
    3
    3
    2
    3
    2
    1
    3
    1
    0
    3
    0
    3
    3
    3
    1
    )
    1
    (
    3
    )
    1
    (
    3
    )
    1
    (
    1
    )
    1
    (
    i
    i
    i
    i
    i
    y
    y
    y
    y
    y









    1
    2
    3
    3
    3
    3
    , что мы и получали выше.
    Будем искать интерполяционный многочлен в виде [2]: 
    ).
    )...(
    )(
    (
    ...
    ....
    )
    )(
    )(
    (
    )
    )(
    (
    )
    (
    )
    (
    1
    1
    0
    2
    1
    0
    3
    1
    0
    2
    0
    1
    0
















    n
    n
    n
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    a
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    a
    x
    x
    x
    x
    a
    x
    x
    a
    a
    x
    P
    (4). 
    Это многочлен n-ой степени. Согласно условию интерполяции должно 
    быть:
    0
    0
    )
    (
    y
    x
    P
    n

    .
    Отсюда
    0
    0
    y
    a

    .
    1
    1
    )
    (
    y
    x
    P
    n

    ,
    т.е.
    1
    0
    1
    1
    0
    )
    (
    y
    x
    x
    a
    a



    .


    JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS 
    WSRJournal.com
    Volume – 5_ Issue-4_May_2022 
    142 
    Отсюда 
    h
    y
    h
    y
    y
    x
    x
    a
    y
    a
    0
    0
    1
    0
    1
    0
    1
    1








    Далее, 
    )
    )(
    (
    )
    (
    )
    (
    1
    2
    0
    2
    2
    0
    2
    1
    0
    2
    2
    x
    x
    x
    x
    a
    x
    x
    a
    a
    x
    P
    y
    n







    ,
    отсюда
    2
    0
    2
    2
    2
    1
    0
    2
    0
    0
    2
    2
    1
    0
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    h
    y
    h
    y
    y
    y
    h
    y
    y
    y
    h
    h
    a
    a
    y
    a













    Т.е. 
    2
    0
    2
    2
    2h
    y
    a



    Аналогично, из того, что 
    )
    (
    3
    3
    x
    P
    y
    n

    найдем 
    3
    0
    3
    3
    6h
    y
    a


    . Вообще, 
    k
    k
    k
    h
    k
    y
    a
    !
    0


    (5). 
    Конечная разность нулевого порядка, по определению, есть само 
    значение функции: 
    0
    0
    0
    y
    y



    Искомый многочлен примет вид: 
    ).
    6
    ).(
    )...(
    )(
    (
    !
    ...
    ....
    )
    )(
    )(
    (
    6
    )
    )(
    (
    2
    )
    (
    )
    (
    1
    1
    0
    0
    2
    1
    0
    3
    0
    3
    1
    0
    2
    0
    2
    0
    0
    0




















    n
    n
    n
    n
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    h
    n
    y
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    h
    y
    x
    x
    x
    x
    h
    y
    x
    x
    h
    y
    y
    x
    P
    Введем вместо переменной x переменную t:
    h
    x
    x
    t
    0


    (7). 
    0
    x
    th
    x


    1
    1
    0
    1






    t
    h
    x
    x
    th
    h
    x
    x


    JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS 
    WSRJournal.com
    Volume – 5_ Issue-4_May_2022 
    143 
    2
    2
    0
    2






    t
    h
    x
    x
    th
    h
    x
    x
    …………………………. 
    k
    t
    h
    x
    x
    th
    h
    x
    x
    k
    k






    0
    тогда 
    ).
    8
    ).(
    1
    )...(
    2
    )(
    1
    (
    !
    ...
    ....
    )
    2
    )(
    1
    (
    !
    3
    )
    1
    (
    !
    2
    )
    (
    )
    (
    0
    0
    3
    0
    2
    0
    0
    0



















    n
    t
    t
    t
    t
    n
    y
    t
    t
    t
    y
    t
    t
    y
    t
    y
    y
    th
    x
    P
    x
    P
    n
    n
    n
    Это первая интерполяционная формула Ньютона. 
    Она применяется, когда точка x, в которой необходимо найти 
    приближенное значение функции, находится в начале отрезка интерполяции 
    (рис. 2): 
    Рис. 2 
    В качестве точки x
    0
    берется ближайшая к x точка таблицы слева. Точки, 
    правее той, которую взяли за x
    0
    , перенумеровываются.
    Значение функции в точке x
    0
    и точках правее нее используются для 
    нахождения конечных разностей 
    0
    3
    0
    2
    0
    ,
    ,
    y
    y
    y



    и т.д. Поэтому точек в 
    таблице, правее той, которую мы взяли за x
    0
    , должно быть достаточно, чтобы 
    построить полином нужной степени. Используются точки «впереди» x
    поэтому первую интерполяционную формулу Ньютона называют формулой 
    для интерполирования «вперед». 
    Когда x ближе к концу отрезка интерполяции, формула интегрирования 
    «вперед» может не позволить построить полином нужной степени – может 
    x
    0
    x x
    1
    x
    2
    …………. x
    n 



    Download 4 Mb.
    1   ...   113   114   115   116   117   118   119   120   ...   190




    Download 4 Mb.
    Pdf ko'rish

    Bosh sahifa
    Aloqalar

        Bosh sahifa



    Journal of new century innovations in all areas journal of new century innovations

    Download 4 Mb.
    Pdf ko'rish