JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
WSRJournal.com
Volume – 5_ Issue-4_May_2022
140
x
n
y
n
Рис.1.
Разности между значениями функции в соседних узлах называются
конечными разностями первого порядка:
)
1
....,
,
1
,
0
(
1
n
i
y
y
y
i
i
i
. (1).
Из конечных разностей первого порядка можно получить конечные
разности второго порядка:
)
2
....,
,
1
,
0
(
1
2
n
i
y
y
y
i
i
i
(2).
– это разность между двумя соседними разностями первого порядка.
Здесь
1
2
1
0
1
0
,
y
y
y
y
y
y
и
0
1
0
2
y
y
y
.
(Индекс «разности» идет по младшему индексу:
0
1
0
y
y
y
).
Теперь определим конечные разности третьего порядка:
)
3
....,
,
1
,
0
(
2
1
2
3
n
i
y
y
y
i
i
i
.
Разностей последующего
порядка на одну меньше, чем предыдущего.
Имея
n+1 значений
y, можно получить разности до
n-го порядка
включительно. Т.е.
k в таблице равно
n.
Конечные разности любого порядка могут
быть представлены через
значения функции. Выразим конечные разности второго и третьего порядка
через значения функции:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
1
2
1
1
2
1
2
2
т.е.
JOURNAL OF NEW CENTURY INNOVATIONS
WSRJournal.com
Volume – 5_ Issue-4_May_2022
143
2
2
0
2
t
h
x
x
th
h
x
x
………………………….
k
t
h
x
x
th
h
x
x
k
k
0
тогда
).
8
).(
1
)...(
2
)(
1
(
!
...
....
)
2
)(
1
(
!
3
)
1
(
!
2
)
(
)
(
0
0
3
0
2
0
0
0
n
t
t
t
t
n
y
t
t
t
y
t
t
y
t
y
y
th
x
P
x
P
n
n
n
Это первая интерполяционная формула Ньютона.
Она применяется,
когда точка x, в которой необходимо найти
приближенное значение функции, находится в начале отрезка интерполяции
(рис. 2):
Рис. 2
В качестве точки
x
0
берется ближайшая к
x точка таблицы слева. Точки,
правее той, которую взяли за
x
0
, перенумеровываются.
Значение функции в точке
x
0
и точках
правее нее используются для
нахождения конечных разностей
0
3
0
2
0
,
,
y
y
y
и т.д. Поэтому точек в
таблице, правее той, которую мы взяли за
x
0
, должно быть достаточно, чтобы
построить полином нужной степени. Используются точки «впереди»
x,
поэтому первую интерполяционную формулу
Ньютона называют формулой
для интерполирования «вперед».
Когда
x ближе к концу отрезка интерполяции, формула интегрирования
«вперед» может не позволить построить полином нужной степени
n – может
x
0
x x
1
x
2
………….
x
n