1-lemma. (9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Isbot. (9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
yi1 yi
, i = 0, 1, …, N–1. (11)
Berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy yi lar uchun aniqlangan, shuning uchun bu tenglik oldingi xi tugundagi toʻr yechimdan foydalaib xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra x0 tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum y1, y2, …, yN larni biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin.
izoh. Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu
y0 = ,
yi1 yi
, i = 0, 1, …, N–1. (11)
algoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707- 1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga Eylerning oshkor usuli deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) tenglamaning yi+1 ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) oshkor formula oldingi xi tugundagi yi toʻr yechimdan foydalanib xi+1 tugundagi yi+1 toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi.
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz qiliamiz, yaʼni berilgan [ x0 , x0 + L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy ichki ( x*, y*) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, boshqacha qilib aytganda, ( x0 , x0 + L) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy x* va ixtiyoriy haqiqiy y* uchun ushbu
y( x*) = y* , y( x) = f( x, y( x))
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida x, y oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha f funksiyaning uzluksizligini faraz qilish yetarli.
izoh. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usulining maʼnosi izlanayotgan y yechimning [xi, xi+1] intervaldagi grafigini xuddi shu differ- ensial tenglamaning unga yaqin boʻlgan biror yechimi grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagini anglatadi.
Agar y yechimning xi tugundagi y(xi) yechimi aniq boʻlganda edi, u holda bunday boʻlak sifatida y yechimga xi nuqtada oʻtkazilgan urinma boʻlagini olish mumkin (4-rasm).
4-rasm. 5-rasm
Ammo biz y(xi) miqdor oʻrniga uning yi taqribiy qiymatini bilamiz, shuning uchun izlanayotgan y yechimning grafigiga (xi, y(xi)) nuqtadan boshqasi orqali urinma oʻtkazishga majburmiz, bu xuddi shu differensial tenglama y(i) - yordamchi yechimi grafigining (xi, yi) nuqtasidan oʻtuvchi urinma (5-rasm).
Bu urinmaning oʻrdinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasining ordinatasi (11) formula bilan hisoblangan yi+1 miqdorga aynan teng ekanligini koʻrsataylik.
Aslida esa, faraz qilaylik, x – aytilgan urinmaning ixtiyoriy nuqtasi- ning absissasi, ỹ(x) – shu nuqtaning ordinatasi, i – bu urinmaning x oʻq bilan tashkil qilgan burchagi boʻlsin (5-rasm). U holda
ỹ(x) = (tgi)(x– xi) + yi , (13) bu tenglama burchak koeffitsiyenti k = tgi va (xi, yi) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi.
Maʼlumki, (13) toʻgʻri chiziq y(i) funksiyaning grafigiga x = xi nuqtada urinadi. Hosilaning geometrik talqinidan foydalanib, quyidagini yoza olamiz:
tgi = (y(i))(xi), (14)
bu yerda y(i) – quyidagi Koshi masalasining yechimi:
(y(i))(x) = f(x, y(i)(x)), (15)
y(i)(xi) = yi . (16)
(14) uchun esa quyidagi tenglikka ega boʻlamiz:
tgi = f(xi, y(i)(xi)) = f(xi, yi).
Shularga koʻra (13) urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:
ỹ(x) = f(xi, yi)(x–xi) + yi . (17) Bu urinmaning xi+1 tugun orqali oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini topish uchun (17) tenglamada x = xi+1 deb olish lozim. Bu oʻrniga qoʻyish natijasida quyidagi
miqdorga ega boʻlamiz:
ỹ(xi+1) = f(xi, yi)(xi+1–xi) + yi .
Bu miqdor (11) formula orqali
xi+1–xi = h
munosabatdan foydalanib topilgan yi+1 miqdorga teng.
|
