Mahasiswa diharapkan

Fungsi y terhadap x yang secara implisit diberikan oleh

x²+y²-1 = 0 (y > 0),

adalah suatu selesaian implisit PD:

yy’ = -x

pada interval –1 < x < 1.

Untuk menunjukkan hal ini bisa dilakukan dengan menurunkan fungi implisit di atas dan memasukkannya dalam persamaan untuk memperoleh suatu identitas.

Contoh 6:

Selesaikan PD

y’ = cos x.

Penyelesaian.

Jika soal di atas kita selesaikan, maka akan diperoleh bahwa fungsi-fungsi

y = sinx,

y = sinx + 1,

y = sinx + 1,5, dan seterusnya,

semuanya merupakan selesaian dari PD. Ini menunjukkan bahwa suatu PD orde satu bisa (dan umumnya akan) mempunyai selesaian lebih dari satu. Dalam contoh di atas, semua fungsi berbentuk

y = sinx + C, (C konstan sebarang)

merupakan selesaian dari PD di atas.

Di sini, fungsi

y = sinx + C,

yang memuat konstan sebarang C, disebut selesaian umum, sementara itu fungsi-fungsi

y = sinx,

y = sinx + 1, dan seterusnya,

masing-masing disebut selesaian khusus dari PD itu.

Kita bisa memeriksa bahwa fungsi

y = ce^x (c konstan)

memenuhi PD

y’ = y,

untuk semua x. Karena fungsi itu memuat konstant sebarang c, maka y merupakan suatu selesaian umum dari PD.

Fungsi tersebut merupakan keluarga kurva seperti berikut:

y

x

Sementara itu, selesaian khusus bisa diperoleh dengan memilih nilai c tertentu, misal

y = e^x,

y = 2e^x, dan

y = -1/2e^x, dan seterusnya

yang masing-masing dinyatakan oleh sebuah kurva.

Dalam beberapa hal, mungkin ada selesaian dari suatu persamaan yang tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu untuk konstannya dalam selesaian umumnya, sebagai contoh PD

y’² – xy’ + y = 0

mempunyai selesaian umum

y = cx - c²,

yang menyatakan keluarga garis-garis lurus, dimana masing-masing garis lurus bersesuaian dengan nilai konstan c tertentu. Dengan substitusi kita juga bisa menunjukkan bahwa

y = x²/4

juga merupakan selesaian dari PD

y’² – xy’ + y = 0.

Fungsi

y = x²/4

disebut selesaian singular dari

y’² – xy’ + y = 0,

karena kita tidak dapat memperolehnya dengan cara memasukkan konstan tertentu ke dalam selesaian umumnya.

Kita bisa memeriksa bahwa masing-masing selesaian khusus merupakan garis singgung dari parabola yang dinyatakan oleh selesaian singular (lihat gambar di bawah).

Selesaian

singular

khusus

Gambar selesaian khusus dan selesaian singular PD y’² – xy’ + y = 0.

Dalam praktek, selesaian singular jarang terjadi dalam masalah-masalah teknik. Nanti kita akan melihat bahwa PD linier tidak mempunyai selesaian singular.

Perlu dicatat juga bahwa tidak semua PD mempunyai selesaian. Sebagai contoh PD:

y’² = -1

tidak mempunyai selesaian real.

PD:

|y’| + |y| = 0

y 0.