• 2-misol.
  • 2-§. Uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish
  • Haqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglamalarni tekshirish.
  • 3-§.To’rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari usulida yechish
  • -misol. x6-3x3+2=0 tenglama yechilsin. Yechish




    Download 135.86 Kb.
    bet8/23
    Sana25.03.2024
    Hajmi135.86 Kb.
    #176677
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   23
    Bog'liq
    Mavzu Qaytma va yuqori darajali tenglamalar va ularni yechish m-fayllar.org
    Amir Temurning hokimiyat tepasiga kelishi, 9-Mustaqil ish topshiriqlari, Toshpo\'latova Elmira 2-Labaratoriya, ВМ 617-сонли қарори 26.10.2022, 5-ma’ruza. Suv enеrgiyasidаn fоydаlаnish inshооtlаri., 4-ma’ruza. To’lqin enеrgiyasi, оkеаn vа dеngiz sоhillаridаgi оqimlаrdаn enеrgiya (1), Davronov A, QilivhobТЕМУРИЙЛАР ДАВРИ ТАРИХШУНОСЛИГИ, Taqriz, mulohaza, topshiriq, Mavzu Zamonaviy kiyim assortimenti, Mavzu Bolalar razmerli tipologiyasini tuzish xususiyatlari, Mavzu Kiyim o‘lchamlari konstruksiyasining xususiyatlari, Matematika Nazariyasi fanidan, Yaxlit pedagogik jarayon-fayllar.org, 1. Rustamov
    1-misol. x6-3x3+2=0 tenglama yechilsin.

    Yechish: y=x3 deb belgilab y2-3y+2=0 yordamchi tenglama topa-miz, uning ildizlari y1=1, y2=2.

    Natijada x3=1 va x3=2 tenglamalarga ega bo`lamiz. Bular (x- 1)(x2+x+1)=0 va x-3 2x2 3 2x3 40 tenglamalarga teng kuchlidir.


    Birinchisidan, x1=1, x2 1i 3 , x3 1i 3 ni, ikkinchisidan x4 3 2,

      1. 2



    x5  134i 3 , x6  134i 3 ni hosil qilamiz.

    2-misol. 3x4+26x2-9 bikvadrat uchhad ko`paytuvchilarga ajratilsin.

    Yechish: 3x4+26x2-9=0 tenglamani yechamiz: x2 1314 va x2 1 dan
      1. 3



    x1 , x2 , x2=-9 dan x3=3i, x4=-3i ni topamiz va

    3x4  26x2  9  3x 13 x 13 x  3ix  3ini hosil qilamiz, yoki 3x4  26x2 9

     3x1 3x1x3ix3i hosil bo`ladi (kompleks sonlar to`plamida), haqiqiy sonlar to`plamida esa 3x4 26x2 9  3x1 3x1x2 9 bo`ladi.

    2-§. Uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish Kompleks sonlar maydoni ustidagi ushbu

    ax3+bx2+cx+d=0, (a0) (1)
    ko‘rinishdagi tenglama uchinchi darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi. 7

    1. tenglamaning har ikkala tomonini a ga bo‘lib, ushbu tenglamaga ega bo‘lamiz:




    x3 bx2 cxd 0 . (2)

    a a a
    1. da xyb almashtirishni kiritib


    3a



    yb 3 byb 2 cyb d 0 (3)
     3aa 3aa 3aa
    tenglamani hosil qilamiz. (3) tenglamani soddalashtirgandan keyin

    y3 +py +q=0 (4)
    ko‘rinishdagi tenglamaga ega bo‘lamiz. (4)tenglamadagi y o‘zgaruvchi o‘rniga ikkita u va v o‘zgaruvchilarni y=u+v tenglik yordamida kiritamiz. Natijada


    (u+v)3 +p(u+v) + q=0 yoki

    u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0 (5) tenglamaga ega bo‘lamiz. (5) da u va v larni shunday tanlaymizki, natijada

    3uv + p = 0 (6)
    shart bajarilsin. Bunday talab qo‘yishimiz o‘rinli, chunki
    uvy

    p

    uv3
    tenglamalar sistemasi y berilganda yagona yechimga ega.

    1. dan



    u3+v3=- q . (7)
    1. dan u3v3=- p3 / 27 bo‘lgani uchun u va v lar Viet teoremasiga asosan biror z2+qz-p3/27=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo‘ladi. Bu tenglamani yechib




    z1= u3=q q2 p3 , z2 v3  q q2 p3 (8)
    2 4 27 2 4 27
    ni hosil qilamiz. (8) dan u=   , v=   ,
    lar topilib, u va v ning har biriga 3ta qiymat, y o‘zgaruvchi uchun esa to‘qqizta qiymat topiladi. Ulardan (6)shartni qanoatlantiruvchilarini olamiz. U holda
    (4) tenglamaning barcha yechimlari topiladi.
    Agar u, u , u 2 (bunda  soni 1 dan chiqarilgan uchinchi darajali ildizlardan biri, ya‘ni 3 =1) lar z1 ning uchinchi darajali ildizlarining qiymatlari bo‘lsa unga mos z2 ning uchinchi darajali ildizlari qiymatlari v, v2, v dan iborat bo‘ladi. Natijada (4) tenglama ushbu


    y1= u+v, y2= u +v 2, y3= u 2 +v (9)
    ildizlarga ega bo‘lib, unda   i 3 bo‘lganligidan
    2
    y1=u+v, y2=1 (u v)  i 3 (u v), y3   (u v)  i 3 (u v) (10)

    2 22
    yechim hosil bo‘ladi. (10) va xyb ni e‘tiborga olib (1)tenglamaning 3a




    x1 y1 b , x2 y2  b , x3 y3 b
    3a 3a 3a
    ildizlari topiladi.

    Haqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglamalarni tekshirish. Endi haqiqiy koeffitsiyentli uchinchi darajali tenglama ildizlarini tekshiraylik. Quyidagi teorema uchinchi darajali tenglamaning haqiqiy va mavhum ildizlari sonini aniqlaydi. Teorema. Agar

    x3+px+q=0 (11) tenglama haqiqiy koeffistientli tenglama bo‘lib,
     q2 p3
    4 27
    bo‘lsa, u holda quyidagi mulohazalar o‘rinli bo‘ladi:


    a)agar >0 bo‘lsa, (11) tenglama bitta haqiqiy va ikkita o‘zaro qo‘shma mavhum ildizlarga ega;

    b) =0 bo‘lsa, (11) ning barcha ildizlari haqiqiy va kamida bittasi karrali;

    s)agar <0 bo‘lsa (11) tenglamaning ildizlari haqiqiy va turlicha bo‘ladi.

    Isboti. a)>0 bo‘lsa, u holda z1 va z2 ildizlar haqiqiy va har xil bo‘ladi.
    Demak, ildizlardan kamida bittasi, masalan z1 noldan farqli bo‘ladi.


    u 3 z1 soni z1 ning arifmetik ildizi bo‘lsin. Shuning uchun u haqiqiy son
    bo‘ladi. uv= - p/3 tenglikka asosan v ham haqiqiy son bo‘ladi. z1z2 bo‘lganligi
    sababli u3v3 bo‘ladi, bunda u v munosabatning o‘rinli ekanligi ravshan.
    (10)ga asosan


    1 23 33 (12) x uv, x (uv) iuv, x (uv) iuv
    22
    bo‘lib, u va v lar haqiqiy hamda turli sonlar bo‘lganligi uchun (12) da x1 haqiqiy, x2 va x3 lar o‘zaro qo‘shma mavhum sonlar bo‘ladi.

    1. =0 bo‘lsin. Agar =0 va q0 bo‘lsa, u holda z1=z2 =- q/20 bo‘ladi.




    q

    u3 son -q/2 ning arifmetik ildizi bo‘lsin. uv=-p/3 haqiqiy son bo‘lgani 2 uchun v3 q - haqiqiy son bo‘ladi, ya‘ni u=v0 bo‘ladi. (12) formulaga asosan
    2

    x1=2u0, x2=x3=-u bo‘ladi. Shunday qilib q0 bo‘lganda (11)tenglama uchta haqiqiy ildizga ega va ulardan bittasi karrali bo‘ladi.
    Agar =0 va q=0 bo‘lsa, u holda p=0 bo‘ladi. Bu holda (11) tenglama x3=0 ko‘rinishda bo‘lib, x1=x2=x3=0 bo‘ladi.
    1. <0 bo‘lsin. U holda z1 q  , z2 q   bo‘ladi. Demak, z1 , z2 son-


    2 2
    lari o‘zaro qo‘shma mavhum sonlar ekan. Shuning uchun ham


    z1=z2   (13) va z1z2 (14) munosabat o‘rinli. (6) va (8) ga ko‘ra

    u3= z1, v3= z2, uv= (15)
    bo‘lgani uchun (13) va (15) dan u3  v3   bo‘lib, bundan

    u= v  (16)

    kelib chiqadi. (14) ga asosan u v munosabat ham o‘rinlidir. (6)ga ko‘ra uv= bo‘lib, bundan uvkelib chiqadi. Shartga asosan p<0. (16)ga
    ko‘ra

    (17)
    tenglik bajariladi. (15) va (17) larga asosan




    p 3upu u   3up2 u u , ya‘ni v== -  3u

    vu (18)
    tenglik o‘rinlidir. (12)formuladagi v ni u bilan almashtirsak va u v ni e‘tiborga olsak, x1, x2, x3 ildizlar haqiqiy va har xil ekanligi ma‘lum bo‘ladi. Haqiqatan ham (12) formuladan x2x3 kelib chiqadi.Faraz qilaylik, x1= x2 bo‘lsin. U holda (9) ga asosan u+v = u+v2 bo‘lib bundan u(1-)=v(2-1) yoki u = v2 kelib chiqadi. Bundan z1=z2 va =0 tengliklar kelib chiqadi.Bu esa <0 shartga qarama-qarshidir.Xuddi shuningdek x1x3 ekanligini ko‘rsatish mumkin. 3-§.To’rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari usulida yechish
    To‘rtinchi darajali tenglamani yechishning Ferrari usuli bilan tanishib chiqamiz.Bu usul bo‘yicha to‘rtinchi darajali tenglamani yechish biror yordamchi uchinchi darajali tenglamani yechishga keltiriladi.
    Kompleks koeffistientli 4-darajadi tenglama ushbu


    x4+ax3+bx2+cx+d=0 (1)
    ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. (1) ni x4+ax3=-bx2-cx-d ko‘rinishda yozib olib, uning

    ikkala tomoniga hadni qo‘shamiz va ushbu ko‘rinishdagi tenglamani hosil qilamiz:



    - d (2)

    (2) tenglamaning ikkala tomoniga (x hadni qo‘shib ushbu

    (3)
    tenglamani hosil qilamiz. (3) ning chap tomonida to‘la kvadrat hosil bo‘ladi. O‘ng tomonidagi uchxad esa y parametrga bog‘liq. Undagi y parametrni shunday tanlab olamizki, natijada (3)ning o‘ng tomoni to‘la kvatrat bo‘lsin. Ma‘lumki Ax2+Bx+C=0 uchxad to‘la kvadrat bo‘lishi uchun B2- 4AC=0 bo‘lishi yetarli.

    Haqiqatan ham, bu shart bajarilsa, B2=4AC bo‘ladi va



    Ax2 BxCAx2  2 ACxC ( AxC)2, ya‘ni Ax2 BxC ( AxC)2 tenglamaga ega bo‘lamiz. Demak, y ni shunday tanlab olamizki, natijada

    0 (4) shart bajarilsin, ya‘ni y ga nisbatan uchinchi darajali tenglama hosil bo‘ladi.


    (4)shart bajarilsa, u holda (3)ning o‘ng tomoni to‘liq kvadratga aylanadi. (4)tenglamani yechib uning bitta ildizi y0 ni topamiz va uni (3)tenglamadagi y o‘rniga olib borib qo‘yamiz. U holda

    (x+)2 (5)


    tenglamani hosil qilamiz. (5) tenglamani yechganda quyidagi kvadrat tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi:


    = x+,

    -. (6)

    ay0 c

    Bu yerda  by ,  2 .


    2
    Bu sistemani yechib berilgan (1) tenglamaning barcha yechimlarini topamiz.



    Download 135.86 Kb.
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   23




    Download 135.86 Kb.

    Bosh sahifa
    Aloqalar

        Bosh sahifa



    -misol. x6-3x3+2=0 tenglama yechilsin. Yechish

    Download 135.86 Kb.