Newtonovi zakoni kao posljedica Keplerovih

Drugi Keplerov zakon može se izreći i kao nepromijenjenost površinske brzine planeta: omjer površine koju prijeđe radijusvektor i pripadnog vremena Δt je konstantan. Promatramo li mali vremenski interval pri pomaku Zemlje (tj. planeta) iz položaja 1 u položaj 2 (sl.3.21), luk 12 možemo zamijeniti malom duljinom Δl, a prijeđenu površinu trokutom površine ΔA. Površina trokuta jednaka je:

dok je pripadna površinska brzina dana izrazom:

gdje je v_n komponenta brzine okomita na radijusvektor r. Kako je prema drugom Keplerovom zakonu površinska brzina konstantna, proizlazi da je:

Pomnožimo li ovu jednadžbu s masom (m) planeta, slijedi da je moment količine gibanja planeta konstantan:

Dakle, drugi se Keplerov zakon može iskazati i preko zakona o očuvanju momenta količine gibanja u sustavu Sunce – planet.

Prema trećem Keplerovom zakonu je:

gdje je K konstanta. Dakle, vrijeme ophoda udaljenijih planeta oko Sunca je sve duže. Planeti bliži Suncu brže se gibaju. Razumno je stoga pretpostaviti da sila između Sunca i planeta opada s povećanjem njihovih uzajamnih udaljenosti. Planet koji se giba oko Sunca s periodom T i u udaljenosti r, ima centripetalnu akceleraciju:

a centripetalna sila na planet je:

gdje je m masa planeta.

Ako supstituiramo period T, koristeći se trećim Keplerovim zakonom, slijedi:

Iz izraza zaključujemo da je sila na planet obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti planeta od Sunca. Konstanta 4π²K_s odnosi se na Sunčev sustav, dok za neki drugi sustav, npr. Zemlja – Mjesec, ta konstanta poprima drugu vrijednost (4π²K_z), pa privlačna sila između Zemlje i Mjeseca iznosi:

Pretpostavimo li da se ovaj izraz za silu može primijeniti na bilo koja dva tijela, a budući da je gravitacijsko privlačenje svojstvo svih tijela, može se pretpostaviti da konstanta u posljednjim izrazima zavisi od mase jednog tijela, odnosno da je proporcionalna s masom:

4π²K_z = Gm_z za Zemlju,

4π ²K_s = Gm_s za Sunce,

pri čemu je G konstanta proporcionalnosti. Tako je općenito gravitacijska sila, kojom masa m₁privlači masu m₂ , jednaka:

a po zakonu akcije i reakcije, masa m₂ privlači masu m₁ silom:

što predstavlja Newtonov zakon opće gravitacije. Konstanta G je gravitacijska konstanta i kako smo kazali, određena je eksperimentalno. Ovime smo zapravo pokazali kako iz trećeg Keplerova zakona slijedi Newtonov zakon gravitacije. Razmotrimo i obratnu situaciju.

Planeti se oko Sunca gibaju pod utjecajem gravitacijske sile:

gdje je M_s masa Sunca i m masa promatranog planeta. Prema drugom Newtonovom aksiomu mehanike, sila koja djeluje na neko tijelo proporcionalna je masi i akceleraciji tijela:

Izjednačavanjem ovih dvaju izraza slijedi izraz za akceleraciju pri gibanju planeta oko Sunca:

Pretpostavimo da se planeti oko Sunca gibaju po kružnicama konstantnom brzinom:

pri čemu je T period ophoda planeta. Premda je iznos brzine pri jednolikom gibanju po kružnici konstantan, potrebito je naglasiti da se radi o akceleriranom gibanju. Naime, brzina se ne mijenja po iznosu, ali se mijenja po smjeru. Akceleracija tijela pri jednolikom gibanju po kružnici je konstantna i usmjerena prema središtu kružnice (centripetalna akceleracija). Dana je izrazom:

ili (nakon što supstituiramo brzinu iz prethodnog izraza):

Izjednačimo li dobiveni izraz za akceleraciju s izrazom (3.7) koji slijedi iz zakona gravitacije, dobivamo:

Veličina na desnoj strani posljednjeg izraza konstantna je za sve planete Sunčeva sustava pa je, prema tome, i omjer kubova udaljenosti planeta od Sunca i kvadrata njihovih ophodnih vremena jednak za sve planete, što upravo iskazuje treći Keplerov zakon. Jasno, ovaj zakon vrijedi i kod bilo kojeg drugog sustava (npr. Jupiterovi sateliti). Newton je i eksperimentalno provjerio svoj zakon, razmatrajući akceleraciju u gibanju Mjeseca oko Zemlje i uspoređujući je s akceleracijom Zemljine sile teže u Mjesečevoj udaljenosti.