Yechish. 2-chizmadan
|z|=r= va =r=
ekani, ya'ni |z|= va argz= -arg ekani kelib chiqadi.
Izoh: Har qanday haqiqiy А sonni ham trigonometrik shaklda yozish mumkin, ya’ni А>0 bo’lsa, А=А(coso+isino),
(2)
A<0 bo’lsa, A=|A|(cos π+isin π)
tengliklar o’rinlidir.
2-chizma. 3-chizma.
2-misol. z1=1-, z2=2i, z3=-2, z4=4 kompleks sonlar trigonometrik shaklda yozilsin.
Yechish. 1) z1=1- son uchun а=1, b=
.
Shunday qilib, z1=1-=2 (cos +isin ).
2) z2=2i-sof mavhum son. а=0, b=2, r==2,
φ=, z2=2i=2(cos+isin).
3) z=-2- manfiy haqiqiy son. Shuning uchun (2) formulaning ikkinchi tenglamasiga binoan
z3=-2=|-2|(cos π +isin π) bo’ladi.
4) z4=4- musbat haqiqiy son bo’lgani uchun (2) formulaning birinchi tenglamasiga binoan z4=4=4(coso+isino) bo’ladi.
3-misol. |z|≤3 tengsizlikni qanoatlantiruvchi kompleks sonlarga mos -kompleks tekisligi nuqtalarining to’plami topilsin.
Yechish. z=x+iy desak |z|= bo’lib, berilgan tengsizlik ≤3 yoki х2+у2≤9 ko’rinishga ega bo’ladi. х2+у2=9 tenglik markazi koordinatalar boshida bo’lib radiusi 3 ga teng aylanani ifodalaydi. Demak, х2+у2≤9-markazi koordinatalar boshida bo’lib, radiusi 3 ga teng doiraning nuqtalari. Bunda х2+у2=9 aylananing nuqtalari ham to’plamga tegishli.
4-misol. 1≤|z|<3 tengsizlikni qanoatlantiruvchi z kompleks sonlariga mos - kompleks tekisligi nuqtalarining to’plami topilsin.
Yechish. 3-misolning natijasidan foydalanib 1≤х2+у2<9 tengsizliklarga ega bo’lamiz. х2+у2≥1 tengsizlik tekislikdagi markazi koordiatalar boshida bo’lib radiusi 1 ga teng aylanada va undan tashqarida yotgan nuqtalar to’plamini ifodalaydi. х2+у2<9 tengsizlik esa tekislikdagi markazi koordinatalar boshida bo’lib radiusi 3 ga teng aylananing ichida yotgan nuqtalar to’plamini ifodalaydi. Demak berilgan tengsizliklar tekislikdagi markazi koordinatalar boshida bo’lgan va radiuslari 1 ga va 3 ga teng konsentrik aylanalar orasidagi halqani ifodalar ekan. Bunda radiusi 1 ga teng aylananing nuqtalari ham halqaga tegishli.
(4-chizma).
5-misol. |z+2-i|=|z+4i| (α)tenglikni qanoatlantiruvchi z kompleks sonlar to’plami kompleks tekisligida nimani ifodalaydi?
Yechish. z=x+iy desak (α) tenglikni |x+iy+2-i|=|x+iy+4i| yoki
|x+2+i(y-1)|=|x+i(y+4)| ko’rinishda yozish mumkin. Oxirgi tenglikni kompleks sonni modulini topish formulasiga asoslanib
= (β)
kabi yozamiz. Bu yerdagi ifoda z=x+iy kompleks songa mos keluvchi А(х,у) nuqtadan М(-2;1) nuqtagacha masofani, esa shu А(х,у) nuqtadan N(0;-4) nuqtagacha masofani ifodalaydi. Demak, (β) tenglik А(х,у) nuqtadan М(-2;1) va N(0;-4) nuqtalargacha masofalar teng ekanligini ko’rsatadi. Kesmaning o’rta perpendikulyari uning uchlaridan bir xil masofada yotishini hisobga olsak berilgan tenglamadagi kompleks sonlariga kompleks tekislikdagi МN kesmani o’rta perpendikulyarini ifodalovchi to’g’ri chiziqning nuqtalari to’plami mos kelishi ayon bo’ladi.
Adabiyotlar
-
Т.Азларов, Ҳ.Мансуров. Математик анализ.1-қисм.Тошкент Ўқитувчи»,1986.
-
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва, «Наука”, 1985.
-
Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Москва, «Наука”, 1980.
-
А.А.Гусак. Высшая математика. 1-том. Минск,2001.
|
