Binomial koeffitsiyentlarning xossalari

Binomial koeffitsiyentlarning xossalari

• Binomial koeffitsiyentlarning ba'zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo'lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi. 1-xossa. tenglik o'rinlidir. Haqiqatan ham, Bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi: bu yerda, m = 0,1,2,..,n-1.

2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi. 3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng. Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda, tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi. 2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

• 2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi. 3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng. Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda, tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi. 2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

4- xossa. n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun tenglik hmda n sondan oshmaydigan eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir. 5-xossa.Toq n son uchun juft n son uchun esa munosabatlar о`rinlidir.Haqiqatanham,shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural n va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir, bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda, formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz. Agar n toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak, formuladan bo'lganda tenglik kelib chiqadi.

• 4- xossa. n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun tenglik hmda n sondan oshmaydigan eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir. 5-xossa.Toq n son uchun juft n son uchun esa munosabatlar о`rinlidir.Haqiqatanham,shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural n va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir, bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda, formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz. Agar n toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak, formuladan bo'lganda tenglik kelib chiqadi.