|
Tugun nuqtalardagi sonli yechimni esa quyidagicha belgilaymiz
|
| bet | 1/4 | | Sana | 19.11.2022 | | Hajmi | 294.95 Kb. | | #30985 |
Bog'liq 1- bob 2-b (1)
sohada o’qi bo’yicha qadamli va o’qi bo’yicha qadamli ayirmali to’rni quramiz. Ayirmlai to’rning tugun ( va to’g’ri chiziqlar kesishmasini anglatadi) nuqtalarini orqali belgilaymiz. Tugun nuqtalar to’plamini orqali belgilaymiz, bu yerda
.
Tugun nuqtalardagi sonli yechimni esa quyidagicha belgilaymiz
Ayirmali to’r qadamlari , larni va tengliklarni qanoatlantiradigan qilib tanlaymiz.
(1.1)-(1.5) aralash masalaning Lyapunov ma’nosida turg’un sonli yechimini topish uchun ko’pincha ayirmali metodlardan foydalaniladi. Bunda odatda oshkor yoki oshkormas ayirmali sxema taklif qilinadi. Ma’lumki, (1.1)-(1.5) aralash masalaning sonli yechimini topish uchun oshkor ayirmali sxemadan foydalanilganda, unda ayirmali to’r qadamlariga Kurant-Fridrixs-Levi sharti qo’yiladi. Ko’pincha giperbolik sistemalarning ma’lum qismi uchun sonli yechimni vaqtning katta oralig’ida olish kerak va fazoviy o’zgaruvchilarning hisoblash intervali uzunligi birga nisbatan ancha kata bo’ladi (ming karra). Misol uchun, ochiq kanallardagi suv oqimining parametrlari hisoblanganda. Shuning uchun Kurant-Fridrixs-Levi sharti kabi cheklovlarni talab qilmaydigan oshkormas ayirmali sxemalarni ishlab chiqishga zarurat kelib chiqadi. Bu ishda biz (1.1)-(1.5) aralash masalaning sonli yechimini hisoblash uchun oqimga qarshi oshkormas ayirmali sxemani ko’rib chiqamiz.
Dastlabki (1.1) sistemani ushbu sxema orqali approksimatsiyalaymiz:
(2.1)
Boshlang’ich berilganlar (shart) sifatida esa (1.4) boshlang’ich funksiyaning vaqt bo’yicha dastlabki qatlamdagi tugun nuqtalaridagi aniq qiymatlarini olamiz:
(2.2)
(1.2) chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash uchun, larning qiymatlarini ularga qo’shni bo’lgan nuqtalar bilan teng deb olamiz. (1.3) chegaraviy shartlar uchun ham huddi shunday qilib to’r funksiya qiymatlarini ga teng qilib to’ldiramiz. Bu holda ravshanki, chegaraviy shartlar approksimatsiya tartibi birga teng bo’ladi:
(2.3)
(2.1)-(2.3) ayirmali masalaning sonli yechimini eksponensial turg’unligini tadqiq qilamiz. Avvaliga (2.1)-(2.3) ayirmali masalaning sonli yechimini eksponensial turg’unligiga ta’rif beramiz.
Ta'rif. 2.1(2.1)-(2.3) boshlang’ich-chegaraviy ayirmali masalaning yechimi, Lyapunov ma’nosida turg’un deyiladi, agar shunday musbat konstantalar mavjud bo’lib va ixtiyoriy boshlang’ich vektor funksiya uchun
,
(2.1)-(2.3) boshlang’ich-chegaraviy ayirmali masalaning yechimi quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsa
Bu yerda - fazoning diskret shakli va o’zidan ko’rinishdagi to’rli funksiyalar ketma-ketligi oilasini aks ettiradi, bunda
(2.1)-(2.3) boshlang’ich-chegaraviy ayirmali masalasini turg’un yechimni toping
(2.1)-(2.3) boshlang’ich-chegaraviy ayirmali masalaning Lyapunov ma’nosida turg’unligini diskret kvadratik Lyapunov funksiyasini qurish yondashuvi asosida tadqiq qilamiz. Diskret kvadratur Lyapunov funksiyasi kandidati sifatida quyidagi funksiyani taklif qilamiz
bu yerda
(2.4)
bu yerda -ta’rifga mos keluvchi musbat o’zgarmaslar.
Теорема 2.1. Aytaylik va diskret Lyapunov funksiyasi (2.4) formula orqali aniqlangan bo’lsin. Agar (2.3) chegaraviy shartlar parametrlari matritsalar (chegaraviy shartlarning dissipativlik sharti) tengsizlikka bo’ysunsa, unda (2.1)-(2.3) boshlang’ich-chegaraviy ayirmali masalaning sonli yechimi , -normada eksponensial turg’un bo’ladi (2.1 ta’rif ma’nosida).
|
| |
