1. Geometrik almashtirishlarda nuqta koordinatalarining o‘zgarishi.
1) Siljitish. Biror l to‘g‘ri chiziqda koordinatalar sistemasi o‘rnatilgan va uning boshi O nuqtada bo‘lsin (1- rasm). l ning har qaysi nuqtasi a birlik qadar siljitilsin. Agar bunda a > 0 bo‘lsa, siljitish O nuqtaga nisbatan musbat yo‘nalishda, a < 0 da manfiy yo‘nalishda bajariladi, a = 0 da nuqta o‘z joyidan siljimaydi. Agar x koordinatali M = M(x) nuqta M′(x′) nuqtaga o‘tgan bo‘lsa, M′ nuqtakoordinatasix′=x+aformulabo‘yichaaniqlanadi.M nuqta M′ ning asli (proobrazi), M′ esa M ning nusxasi (obrazi) deyiladi. Masalan, M(3) nuqta a=4 birlik siljitilsa, x′=x+a=3+4=7 koordinatali M′(7) nuqtaga ko‘chadi.
1-rasm.
2) Cho‘zish. l to‘g‘ri chiziqda M(x) nuqta O koordinata boshidan k marta uzoqlashtirilib (yoki O ga yaqinlashtirilib), M′(x′) nuqtaga o‘tkazilgan bo‘lsin. M′ nuqta koordinatasi x′ = kx formula bo‘yicha hisoblanadi. Agar bunda k > 0 bo‘lsa, M′ nuqta M bilan birgalikda O nuqtaning bir tomonida, k < 0 da M′ nuqta O ning ikkinchi tomonida joylashadi, |k| < 1 da x = OM kesma k marta qisqaradi, |k| > 1 da esa k marta cho‘ziladi, k = 1 da M va M′ nuqtalar ustma-ust tushadi, k = −1 da ular O nuqtaga nisbatan simmetrik joylashadi.
3) Parallel ko‘chirishda xOy koordinata tekisligidagi barcha nuqtalar bir xil yo‘nalishda bir xil masofaga ko‘chadi (2- rasm). Chunonchi, O(0; 0) koordinata boshi L(a; b) nuqtaga ko‘chirilgan bo‘lsa, M(x; y) nuqta M′(x′; y′) ga ko‘chadi va bunda MM′ = OL, MM′||OL bo‘ladi.
2-rasm.
4) Tekislikni to‘g‘ri chiziqqa nisbatan cho‘zish. Tekislikdagi biror M nuqtadan l to‘g‘ri chiziqqa MT perpendikular tushirilgan (lot. perpendicularis – tik) (46-a, b rasm) va M nuqta MT da yotuvchi M′(x′; y′) nuqtaga o‘tkazilgan bo‘lsin, bunda M′T = k ⋅ MT. Agar bunda k > 0 bo‘lsa, M va M′ lar birgalikda l ning bir tomonida, k < 0 bo‘lsa, uning turli tomonlarida joylashadi. Jumladan, Ox o‘qqa nisbatan k koeffitsiyent bilan cho‘zish M(x; y) nuqtani koordinatalari x′ = x, y′ = ky bo‘lgan M′(x′; y′) nuqtaga, Oy o‘qqa nisbatan cho‘zish esa koordinatalari x ′ = kx, y ′ = y bo‘lgan nuqtaga o‘tkazadi. To‘g‘ri chiziqqa nisbatan k = −1 koeffitsiyent bilan cho‘zish shu to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyadir. Jumladan, Ox o‘qqa nisbatan simmetriya M(x; y) nuqtani M′(x; −y) nuqtaga, Oy o‘qqa nisbatan simmetriya esa M′(−x; y) nuqtaga o‘tkazadi.
1-misol. 3-rasmda y = f(x) funksiya grafigini x=4 va y = 7 birlik parallel ko‘chirish orqali y = f (x − 4) + 7 funksiya grafigini yasash tasvirlangan.
3-rasm.
2-misol. f funksiya grafigi bo‘yicha f1(x) = 3f (x), f2(x) = =f (2x), f3(x) = 3f (2x) funksiyalar grafiklarini yasaymiz (4-rasm).
Yechish. f1 funksiya grafigi f grafikni Ox lar o‘qidan l=3 koeffitsiyent bilan cho‘zish, ya’ni f dagi nuqtalar ordinatalarini 3 marta cho‘zish orqali, f2 grafik f grafikni Oy o‘qidan k = 12 marta cho‘zish (ya’ni 2 marta qisqartirish, qisish), buning uchun f nuqtalari abssissalarini 2 marta qisqartirish orqali, f3 grafigi esa f grafigini abssissalar o‘qidan l = 3 marta uzoqlashtirish va ordinatalar o‘qiga k = 12 koeffitsiyent bilan yaqinlashtirish orqali yasaladi.
4-rasm.
Funksiya grafiklarining asosiy o'zgarishlari
1. Gorizontal siljish
Funksiya formula bilan berilgan bo'lsin y=f(x) va a>0 keyin funksiya grafigi y=f(x-a) asl funksiyaga nisbata a ga o'ngga siljiydi. Funksiya grafigi y = f(x+a) asl ga nisbatan a ga chapga siljiydi.
2. Vertikal siljish.
Funksiya formula bilan berilgan va y=f(x) C qandaydir musbat son bo'lsin. Keyin funksiya grafigi y=f(x)+C dastlabkiga nisbatan C yuqoriga siljiydi. Funksiya grafigi y=f(x)-C asl grafigiga nisbatan C pastga siljiydi.
3. Gorizontal ravishda cho'zish (siqilish).
Funksiya formula bilan berilgan y=f(x) bo'lsin k>0 va so'ngra funksiya grafigi y=f(kx) asliga nisbatan k marta gorizontal cho'ziladi, agar 0
4. Vertikal ravishda cho'zish (siqilish).
Funktsiya formula bilan berilgan bo'lsin y=f(x) va M>1 bo’lsa, funksiya grafigi y=M·f(x) asliga nisbatan M marta vertikal cho'ziladi. Agar 0
5. Gorizontal tarzda aks ettirish.
y=f(x) funksiya grafigi y o'qiga nisbatan y=f(-x) funsiyaga simmetrik bo'ladi.
6. Vertikal tarzda aks ettirish.
y=f(x) funksiya grafigi y=-f(x) funksiya grafigiga x o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.
Do'stlar, bularning barchasini qayerdadir ko'rgandek his qilmayapsizmi? Ha, agar siz kompyuterda grafik muharrirda tasvirlarni tahrir qilgan bo'lsangiz, buni ko'rgan bo'lsangiz kerak. Rasmni siljitish mumkin (gorizontal yoki vertikal). Stretch (gorizontal yoki vertikal). Mulohaza yuritish va biz bularning barchasini funksiya grafiklari bilan qilamiz.
Misollar:
1.Funksiya grafigini yasang: y = ( x+3 )² - 1
Bu x o’qida chapga 3, y o’qida 1 ga pastga siljigan kvadratik parabola.
Parabola uchi (-3,-1).
2.Funksiya grafigini chizing: y = x² – 4x - 1
Funksiyani to'liq kvadratga ajratamiz.
y = x² - 4x + 4 – 4 -1 = x² – 4x + 4 - 5 = (x-2)² – 5.
Funksiya x o’qida 2 birlik o'ngga, y o’qida 5 birlik pastga siljigan kvadratik paraboladir.
E'tibor bering, funktsiya grafigi y = ax²+ bx +c, y o'qini bir nuqtada kesib o'tadi (0,c). Bizning grafikimizda bu nuqta (0,-1).
Maksimal ulanish bilan grafik ketma-ketlikni amalga oshirish
Etakchi cho'qqilarni tanlashga qarab, l-protsedura grafik ketma-ketlikning turli xil amalga oshirilishini qurishi mumkin. U shunday tashkil etilishi mumkinki, u ba'zi bir belgilangan xususiyatlarga ega bo'lgan dasturni yaratadi, agar, albatta, bunday ilovalar mavjud bo'lsa. Quyida biz l-protseduradan foydalanib, barcha realizatsiyalar orasida chekka ulanishlar soni maksimal bo'lgan grafik ketma-ketlikning bunday realizatsiyasi G ni qanday qurishni ko'rsatamiz.
d muntazam grafik n-ketma-ketlik bo'lsin. Har qanday G grafigi (cho'qqilarning minimal darajasi) uchun biz ketma-ketlikning realizatsiyasi G ni qurishga intilamiz.
Birinchidan, oddiy bog'langan dasturni yarataylik.
|
