• 2. Általános Lorentz-transzformáció
  • 3. Négyes vektorok
  • 4. Négyes tenzorok. Tenzoranalízis
  • 5. A speciális relativitáselmélet programja
  • 3. fejezet - RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA
  • Elektrodinamika




    Download 2.1 Mb.
    bet2/11
    Sana24.04.2021
    Hajmi2.1 Mb.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
    a) Ha ds2 > 0, akkor a (dx, dy, dz, dt) elmozdulást térszerűnek nevezzük. Könnyen belátható, hogy ez az elmozdulás alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a

    ((63,4). egyenlet)

    alakra hozható. Abban az inerciarendszerben, amelyben az elmozdulást (63,4) írja le, a két végponthoz tartozó események egyidejűek. Más inerciarendszerben azonban dt általában zérustól különböző, és a koordináta-rendszertől függően pozitív vagy negatív lehet. Ennélfogva az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje a koordináta-rendszertől függően más lehet.



    b) Ha ds2 > 0, akkor a (dx, dy, dz, dt) elmozdulást időszerűnek nevezzük. Alkalmasan megválasztott Lorentz-transzformációval a ds2 < 0 elmozdulások

    ((63,5). egyenlet)

    alakra hozhatók. Az ilyen elmozdulások jellegzetes sajátsága, hogy az időkomponens előjelét a transzformáció nem változtatja meg. Ebben az esetben az elmozdulás végpontjaihoz tartozó események időbeli sorrendje invariáns a Lorentz-transzformációval szemben.

    A leggyakoribb példa az időszerű elmozdulásokra a fénysebességnél kisebb sebességgel mozgó részecske világvonalának ds eleme. Ugyanis



    ((63,6). egyenlet);

    ahol , és mivel , . A pontszerűnek tekintett fizikai részek (a fénykvantum és a neutrinó kivételével) a vákuumbeli fénysebességnél kisebb sebességgel mozognak, ezért világvonaluk olyan görbe, amelynek minden eleme időszerű. A (63,5) szerint van olyan koordináta-rendszer, amelyben a világvonal elemének megfelelő (dx, dy, dz, dt) elmozdulás

    ((63,7). egyenlet)

    alakú. Ebben a koordináta-rendszerben a részecske sebessége zérus, ezért ezt a részecske nyugalmi rendszerének nevezzük. A részecske nyugalmi rendszere csak abban az esetben ugyanaz minden időben, ha a világvonal egyenes, vagyis ha egyenes vonalú egyenletes mozgásról van szó. Egyébként a nyugalmi rendszer pillanatról pillanatra változik. Ezért helyesebb a pillanatnyi nyugalmi rendszerről beszélni. a (61,13)-ban definiált sajátidőtartam, amely ds-sel a következő kapcsolatban van:

    ((63,8). egyenlet).

    c) Ha ds2 = 0, akkor az elmozdulást nullelmozdulásnak vagy nullvektornak nevezzük. A nullelmozdulásnak bármely koordináta-rendszerben van legalább egy el nem tűnő térszerű és zérustól különböző időszerű komponense. A (63,6) összefüggésből látszik, hogy a vákuumbeli fénysebességgel mozgó részecske világvonalának minden eleme nullelmozdulás. A fénykvantum (az ún. foton) világvonala ilyen tehát. Mivel a fény állandó sebességgel terjed, a világvonala egyenes vonal, amelynek nemcsak végtelen kis elemei, hanem bármely véges része is nullvonal.

    Az O világpontból különböző irányokba kiinduló fényvilágvonalak egy hiperkúpfelületet alkotnak; ezt nevezzük fénykúpnak(71. ábra). Az O-ból kiinduló t > 0-nak megfelelő részt pozitív fénykúpnak, a t < 0-nak megfelelő részt negatív fénykúpnak nevezzük.



    71. ábra -

    A fénykúp a Minkowski-féle négyes teret a következő három részre osztja:

    I. A pozitív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt. Tehát azon PI pontok összessége, amelyekre vonatkozóan az vektor hosszának négyzete nem pozitív, és időkomponense pozitív, vagyis

    .

    II. A negatív fénykúp belseje a palást pontjaival együtt. Azon PII pontok összessége tehát, amelyekre vonatkozóan az vektor hosszának négyzete nem pozitív, de az időkomponense negatív: ; .

    III. A Minkowski-féle négyes tér fénykúpon kívüli része. Azon PIII pontok összessége tehát, amelyekre az vektor hosszának négyzete pozitív, vagyis .

    Mivel a relativitás elve szerint az O pontból kiinduló bármilyen hatás legfeljebb fénysebességgel terjedhet, az csak az I. tartomány PI pontjait érheti el. Másrészt, csak a II. tartomány PII pontjaiból kiinduló hatások érhetik el az O pontot. Ezzel szemben az O pont és a III. tartomány PIII pontjai között semmilyen ok-okozati összefüggés nincs. Más szóval: az O pontból kiinduló hatások a PIII pontokat nem érik el, és ez megfordítva is igaz.

    2. Általános Lorentz-transzformáció

    A Minkowski-féle négydimenziós tér bevezetése után foglalkozzunk azokkal a legáltalánosabb transzformációkkal, amelyek az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérést teszik lehetővé. A (60,7), (60,8) transzformációk ugyanis speciálisak abban az értelemben, hogy a tengelyek speciális választása miatt y és z nem transzformálódik. Most meg akarunk szabadulni ettől a korlátozástól is.

    Minkowski nyomán bevezetjük a következő jelöléseket:

    ((64,1). egyenlet).

    A Minkowski-féle négydimenziós tér OP távolságának négyzete e jelölésekkel:



    ((64,2). egyenlet).

    Tekintsünk két inerciarendszert. Az egyiket jelöljük K-val, a másikat K'-vel. Valamely pontszerű esemény hely- és időkoordinátáit jelöljük x1, x2, x3, x4-gyel, illetőleg x'1, x'2, x'3, x'4-vel. A keresett transzformáció kapcsolatot teremt a vesszős és vesszőtlen koordináták között. E kapcsolatnak olyannak kell lennie, hogy a két inerciarendszer a fizikai jelenségek leírása szempontjából egyenértékű legyen. Két vonatkoztatási rendszert akkor tekintünk egyenértékűnek, ha

    1. az egyenes vonalú egyenletes mozgás a transzformáció során ugyanilyenbe megy át. Ez geometriailag azt jelenti, hogy a transzformáció a négydimenziós tér K rendszerbeli egyenesét a K'-beli egyenesbe viszi át.

    2. s2 invariáns marad, vagyis



    ((64,3). egyenlet).

    Ezt a második követelményt arra alapozzuk, hogy a fénysebesség mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanaz a c érték. Ebből közvetlenül adódik, hogy -nak -ba kell átmennie. Ezt mi a (64,3) alakba általánosítottuk.

    Az 1. és 2. feltételt kielégítő transzformációkat nevezzük általános Lorentz-transzformációknak.

    Az 1. feltétel miatt a transzformációnak lineárisnak kell lennie. Ha feltételezzük, hogy xi = 0 az x'i = 0-val egybeesik, akkor a transzformációs képlet konstans tagot nem tartalmaz, tehát:



    ((64,4). egyenlet).

    A transzformációt tehát az



    ((64,5). egyenlet)

    mátrix egyértelműen meghatározza. Mivel x1, x2, x3; valamint x'1, x'2, x'3 valósak, az x4 és x'4 pedig tiszta képezetes, az mátrix aik (i, k = 1, 2, 3) elemei és a44 valósak, az ai4 és a4i (i = 1, 2, 3) elemek pedig képzetesek.

    A 2. feltétel további megszorítást jelent az mátrix elemeire. Ha (64,4)-et a (64,3)-ba behelyettesítjük, akkor aik-ra a következő feltételeket kapjuk:

    ((64,6). egyenlet).

    a Weierstrass-féle δ szimbólumot jelenti:



    ((64,7). egyenlet).

    (64,6) segítségével (64,4)-ből xk kifejezhető. Szorozzuk meg (64,4)-et ais-sel és összegezzünk i-re 1-től 4-ig:



    .

    Ez az ún. inverz-transzformációt fejezi ki:



    ((64,8). egyenlet).

    Ha (64,8)-at (64,3)-ba behelyettesítjük, akkor a



    ((64,9). egyenlet)

    feltételi egyenletet kapjuk. A (64,6) egyenlet bal oldala az mátrix két oszlopában álló megfelelő elemek szorzatának összegét, (64,9) bal oldala pedig két sor elemeinek szorzatösszegét adja. A Lorentz-transzformáció mátrixának elemei tehát kielégítik a (64,6), (64,9) feltételeket.

    Könnyen belátható, hogy a Lorentz-transzformációk csoportot alkotnak. Két Lorentz-transzformáció egymás utáni alkalmazása ismét Lorentz-transzformációt ad.

    A 60. pontban tárgyalt speciális Lorentz-transzformáció mátrixa a következő:



    ((64,10). egyenlet),

    ahol . Ugyanis (64,4) és (64,10) alapján:



    ((64,11). egyenlet)

    Ezek a transzformációs képletek pedig megegyeznek (60,7)-tel.

    3. Négyes vektorok

    A geometriában tanultuk, hogy a háromdimenziós térben értelmezett ún. közönséges vektorok rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy a koordináta-rendszer elforgatásakor komponenseik úgy transzformálódnak, mint az x, y, z koordináták. A megelőző elméleti fizikai tanulmányainkban a vektorokat éppen ezzel a sajátságukkal definiáltuk. Nevezetesen: vektornak nevezünk olyan három komponenssel megadott mennyiséget, amelynek komponensei a koordináta-rendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint az x, y, z koordináták.

    Ennek mintájára definiáljuk az ún. négyes vektorokat a Minkowski-féle négydimenziós térben. Négyes vektor olyan négykomponensű mennyiség, amelynek komponensei a (64,4), illetve a (64,8) képlet szerint transzformálódnak. Legyen az Ai négyes vektor négy komponense a K rendszerben A1, A2, A3, A4, a K' rendszerben pedig A'1, A'2, A'3, A'4. A definíció szerint:

    ((65,1). egyenlet)

    ahol aik és ark a (64,5) mátrix elemei. Az Ai négyes vektor negyedik komponense (A4) az előző pont szerint tiszta képzetes.

    Két négyes vektor skaláris szorzata invariáns skalár. Legyen a két négyes vektor Ai, illetve Bk. A skaláris szorzatuk:

    .

    A (64,9) összefüggés alapján ez a következőképpen írható:



    ((65,2). egyenlet).

    Az eredeti és a transzformált négyes vektorok skaláris szorzata tehát megegyezik, vagyis invariáns.

    (65,2)-nek speciális esete egy négyes vektor önmagával való skaláris szorzata, vagyis négyzete:

    ((65,3). egyenlet).

    Képezzük az xi világpont τ sajátidő szerint vett differenciálhányadosát:

    ((65,4). egyenlet).

    Az így definiált u1, u2, u3, u4 négykomponensű mennyiség négyes vektor. Ugyanis a számláló úgy transzformálódik, mint az xi koordináta, a nevező pedig invariáns skalár, ezért ui úgy transzformálódik, mint xi, tehát négyes vektor. Az ui négyes vektort a tömegpont négyes sebességének nevezzük.



    Mivel ,

    ((65,5). egyenlet)

    ahol a hármas sebesség x, y, z komponense; .

    A négyes sebesség négyzete:

    ((65,6). egyenlet).

    A K inerciarendszerben nyugvó részecske négyes sebessége ui(0, 0, 0, ic). Ha a tömegpont sebessége kicsi a vákuumbeli fénysebességhez képest , akkor , és ezért az első három komponens megegyezik a háromdimenziós sebesség komponenseivel. ui tehát joggal tekinthető a sebesség négydimenziós általánosításának.

    Az

    ((65,7). egyenlet)



    négyes vektort a tömegpont négyes gyorsulásának nevezzük. Hogy ez négyes vektor, az az előbbiek alapján nyilvánvaló. Nézzük most a1-et részletesen:

    ((65,8). egyenlet),

    ahol v a hármas sebesség, . Ha kicsi a c-hez képest – vagyis a rendű tagok elhagyhatók –, akkor . Hasonló igaz az a2 és az a3 komponensre is. A negyedik komponens:



    ((65,9). egyenlet).

    Könnyen belátható, hogy a négyes sebességnek és a négyes gyorsulásnak a skaláris szorzata zérus. Differenciáljuk e célból az (56,6) egyenletet a τ sajátidő szerint:



    ((65,10). egyenlet).

    4. Négyes tenzorok. Tenzoranalízis

    A négyes vektorok bevezetése után most áttérünk a négydimenziós tér tenzorainak ismertetésére.

    Fizikai tanulmányainkban tenzorokkal először a rugalmasságtanban találkoztunk. A rugalmas testben fellépő feszültséget fejeztük ki tenzorokkal. A feszültségtenzor kilenc komponensből álló mennyiség:



    Az első sorban álló mennyiségek a rugalmas test x tengelyre merőleges felületegységére ható erő három komponensét jelentik. A második, illetve a harmadik sorban álló mennyiségek az y, ill. a z tengelyre merőleges felületegységre ható erő komponensei. A Pik feszültségtenzor elemei a koordináta-rendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint az xixk szorzat. (Pl. Pxy úgy, mint az xy szorzat.) Az elméleti fizikai tanulmányainkban a tenzoroknak ezt a sajátságát használtuk fel definiálásukra.

    Hasonlóan ahhoz, ahogyan a vektoroknál tettük, ennek általánosításával definiáljuk a négydimenziós tér tenzorait. A négydimenziós tér másodrendű tenzorán olyan tizenhat elemből álló Tik mennyiséget értünk, amely a (64,4) Lorentz-transz- formációkor úgy transzformálódik, mint az xixk szorzat. Ha Tik (i, k = 1, 2, 3, 4) jelenti a tenzor elemeit a K-rendszerben, és T'ik (i, k = 1, 2, 3, 4) a K'-rendszerben, akkor

    ((66,1). egyenlet),

    ahol air és aks a (64,5) mátrix elemei.

    A Tik tenzor definíciójából következik, hogy két négyes vektor komponenseinek az AiBk szorzata tenzor; hiszen AiBk úgy transzformálódik, mint az xixk szorzat.

    A másodrendű tenzor definíciója könnyen általánosítható, akárhányadrendű tenzorra. Az n-ed rendű tenzor olyan 4n elemből álló mennyiség, amelynek eleme Lorentz-transzformációkor úgy transzformálódik, mint az szorzat. Ennek alapján a négyes vektort elsőrendű tenzornak, a skalárt pedig nulladrendű tenzornak tekinthetjük.

    Gyakran előfordulnak olyan másodrendű tenzorok, amelyeknek Tik eleme megegyezik a Tki elemével:

    ((66,2). egyenlet).

    Ilyenkor a tenzort szimmetrikusnak mondjuk. Antiszimmetrikus a tenzor akkor, ha

    ((66,3). egyenlet).

    Bármely Tik tenzor felbontható szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzor összegére:

    ((66,4). egyenlet),

    ahol

    ,

    .

    Könnyen belátható, hogy a tenzor szimmetriatulajdonsága nem változik meg a koordinátatranszformációkor, vagyis szimmetrikus tenzort a Lorentz-transzformáció szimmetrikus tenzorba visz át.

    Tenzorok szorzásával magasabb rendű tenzort kapunk. Pl. két másodrendű tenzor szorzásából negyedrendű tenzor keletkezik. A szorzást úgy értelmezzük, hogy az egyik tenzor minden elemét megszorozzuk a másik tenzor minden elemével.

    ((66,5). egyenlet).

    Egy tenzorból alacsonyabb rendű tenzort kaphatunk azáltal, hogy két indexét azonossá tesszük, és ezekre összegezünk. Ezt az eljárást „kontrakciónak” nevezzük. Pl. a Tikl harmadrendű tenzorból vektort kapunk:

    ((66,6). egyenlet),

    vagy


    .

    Másodrendű tenzorból kontrakcióval skalárt kapunk:

    ((66,7). egyenlet).

    Az S skalárt a Tik tenzor átlós összegének, vagy idegen szóval spurjának nevezzük. A tenzor spurja tehát invariáns mennyiség.

    Az eddigiekben tenzorokból algebrai műveletekkel képeztünk újabb tenzorokat. A tenzorképzés e módszereivel foglalkozik az ún. tenzoralgebra.

    Újabb tenzorokat kapunk akkor is, ha a tenzorokat a koordináták szerint differenciáljuk. Ezek a módszerek a tenzoranalízis körébe tartoznak.

    Tekintsünk egy négyváltozós skalárfüggvényt. Képezzük ennek , , , parciális differenciálhányadosait. Könnyen belátható, hogy a parciális differenciálhányadosok egy Ai négyes vektor komponensei. Ehhez azt kell belátnunk, hogy a mennyiség úgy transzformálódik, mint az xr koordináta. Mivel Φ skalár, a transzformáció során csak a koordináták változnak meg. Képezzük a függvény szerinti parciális differenciálhányadosát. A közvetett differenciálás szabálya szerint:

    ((66,8). egyenlet).

    Az

    transzformációs képlet alapján

    .

    Ezt (66,8)-ba beírva, adódik:



    ((66,9). egyenlet).

    Ez a képlet pedig pontosan megegyezik az Ai vektor (65,1) traszformációs képletével. A komponensek tehát négyes vektort alkotnak.

    Tekintsünk most egy vektorteret. Megmutatjuk, hogy a parciális differenciálhányadosok egy másodrendű tenzor elemei. A négyes vektorok (65,1) transzformációs képletéből indulunk ki:

    .

    Differenciáljuk ezt az összefüggést szerint. Mivel air állandó, ezért



    .

    Az xs koordináta (64,8) transzformációs képletéből következik, hogy



    .

    Ezt figyelembe véve, adódik:



    ((66,10). egyenlet).

    (66,10) megegyezik a Tik másodrendű tenzor (66,1) transzformációs képletével. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a differenciálhányadosok valóban egy másodrendű tenzor elemei. Hasonlóan belátható, hogy egy n-ed rendű tenzor elemeinek az xk koordináták szerinti parciális differenciálhányadosai n + 1-ed rendű tenzort alkotnak.

    A tenzorok kontrakciójával kapcsolatban tett fenti megállapításaink alapján a

    ((66,11). egyenlet).

    A (66,11) egyenlőség bal oldalán álló mennyiséget az Ai négyes vektor négyes divergenciájának nevezzük. Ez természetes általánosítása a háromdimenziós térben definiált vektordivergenciának.

    Mivel a mellett a is másodrendű tenzor, ezért a kettő különbsége is egy másodrendű tenzor, amelyet Fik-val jelölünk:

    ((66,12). egyenlet).

    (66,12) -ről szembetűnően látszik, hogy ez a tenzor antiszimmetrikus:

    .

    A (66,12) egyenlőség bal oldala az Ai négyes vektor négyes rotációja. A hármas vektor rotációja szintén vektor, de a négyes vektoré már nem, mert – mint láttuk – az tenzor.



    A Tik másodrendű tenzor elemeinek differenciálhányadosai egy harmadrendű tenzor elemei. Ebből kontrakcióval négyes vektor nyerhető:

    ((66,13). egyenlet).

    (66,13) bal oldala a Tik tenzor négyes divergenciája.

    5. A speciális relativitáselmélet programja

    A Minkowski által bevezetett négydimenziós térnek, a benne értelmezett négyes vektoroknak és négyes tenzoroknak fizikai jelentősége abban van, hogy segítségükkel a relativitáselmélet igen egyszerűen kiépíthető.

    A relativitás elve szerint az inerciarendszerek egyenértékűek a természeti jelenségek leírása szempontjából. Ez más szóval azt jelenti, hogy az egzakt természettörvények mindegyik inerciarendszerben ugyanolyan alakúak. A természettörvények tehát invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. A Lorentz-invariancia a természettörvények egzaktságának a kritériumát jelenti. Az új törvények felfedezésekor a kutató első feladata annak megállapítása, hogy a felismert törvény teljesíti-e ezt a kritériumot. A Lorentz-transzformációnak az elvégzése és a kívánt invarianciatulajdonság megállapítása fáradságos munkát jelentene minden egyes új alaptörvény felfedezésekor. Nagy könnyítést jelentene a kutatónak, ha a törvényeket olyan alakban tudná megfogalmazni, amely a Lorentz-invarianciát szemmel láthatóan mutatja. Az előző pontokban bevezetett négyes vektorok és négyes tenzorok éppen ebben adnak igen nagy segítséget. Ugyanis ha az alaptörvényeket vektor- vagy tenzoregyenlet alakjában sikerül felírni, akkor az már biztosítja az egyenlet Lorentz-invarianciáját.

    Tegyük fel, hogy valamely természettörvény a K inerciarendszerben a

    ((67,1). egyenlet)

    tenzoregyenlet alakjában írható fel. Térjünk át a K' inerciarendszerre a (64,4) koordinátatranszformácíóval. A (67,1) alapegyenlet (66,1) alapján a

    ((67,2). egyenlet)

    egyenletbe megy át, mivel a K' rendszerbeli tenzorkomponensek a K-belinek lineáris kombinációi. A tenzoregyenlet tehát minden inerciarendszerben ugyanolyan alakú, vagyis invariáns a (64,4) Lorentz-transzformációval szemben. Ennélfogva ha a természettörvényt sikerül tenzoregyenlet alakjában felírnunk, akkor annak Lorentz-invarianciáját már eleve biztosítottuk.

    Természetesen Lorentz-invariánsak a négyes vektoregyenletek is, hiszen az

    ((67,3). egyenlet)

    egyenletet a (64,4) transzformáció az

    ((67,4). egyenlet)

    egyenletbe viszi át.

    Mivel a relativitás elve szerint az egzakt természettörvények Lorentz-invariánsak, vektor- vagy tenzoregyenlet alakjában írhatók.

    Ezek után kézenfekvő megvizsgálni, hogy a fizika eddigi fejezetei (mechanika, elektrodinamika) teljesítik-e az itt megfogalmazott követelményt, vagyis alaptörvényeik egzaktak-e. Ha sikerül a mechanika és elektrodinamika alapegyenleteit négyes vektor- vagy négyes tenzoregyenlet alakjában felírnunk, akkor megnyugvással állapíthatjuk meg, hogy azok egzakt igazságokat foglalnak magukban. Ha az derülne ki, hogy ezek valamelyike nem Lorentz-invariáns, akkor ez azt mutatná, hogy az illető diszciplína csak közelítő jellegű törvényeket állapít meg. Ekkor meg kell kísérelnünk annak olyan általánosítását, amely kielégíti a relativitás elve támasztotta fenti kritériumokat.

    A következő pontokban ezt a programot valósítjuk meg, vagyis megvizsgáljuk az elektrodinamika, majd a mechanika alapegyenleteit a Lorentz-invariancia szempontjából.

    3. fejezet - RELATIVISZTIKUS ELEKTRODINAMIKA

    1. A Maxwell-egyenletek tenzor alakban

    Induljunk ki a vákuumbeli Maxwell-egyenletekből. A teret az áram-, ill. a töltéseloszlás kelti:

    ((68,1). egyenlet);

    ((68,2). egyenlet).

    Az i áramsűrűség és a töltéssűrűség között – mint ismeretes – fennáll a (68,1) egyenletből következő



    ((68,3). egyenlet)

    kontinuitási egyenlet.

    Könnyen belátható, hogy a (68,1), illetve a (68,2) egyenletcsoport négyes vektor-, ill. négyes tenzoregyenletbe foglalható össze. Az i áramsűrűség három komponenséből és a töltéssűrűségből egy négyes vektor képezhető. Az E és H térerősségek hat komponense pedig egy antiszimmetrikus tenzor hat független elemének fogható fel.

    Az i áramsűrűségből és a töltéssűrűségből keletkező négyes vektort jelöljük si-vel, és definiáljuk a következőképpen:



    ((68,4). egyenlet).



    Download 2.1 Mb.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




    Download 2.1 Mb.

    Bosh sahifa
    Aloqalar

        Bosh sahifa



    Elektrodinamika

    Download 2.1 Mb.