13-14-MA’RUZA:
Laplas almashtirishlari. Asl va tasvir. Asl va tasvirning asosiy xossalari.
va xossalari. Operatsion xisobning asosiy teoremalari.
Reja:
1. Laplas tasviri va uning ba’zi xossalari.
2. Ba’zi sodda funksiyalarning tasvirlari.
3. Laplas tasvirining ba’zi xossalari.
4. Original - tasvir jadvali.
1. Laplas tasviri va uning ba’zi xossalari.
Faraz qilaylik haqiqiy o’zgaruvchili f (t) funksiyaga
chiziqli integral
almashtirish vositasida biror kompleks o’zgaruvchili funksiya F(t) mos keltirilgan
bo’lsin. Bu holda f(t) funksiyani F(t)
funksiyaning
originali yoki asl obrazi
deyiladi. F(t) funksiyani esa f (t) ning
tasviri , obrazi yoki kopiyasi
deyiladi.
Ta’rif:
Original deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi haqiqiy
o’zgaruvchili t ning f (t) kompleks funksiyaga aytiladi.
1. Haqiqiy o’zgaruvchili t ning (t
0) funksiyasi bo’lgan f (t)
uzluksiz va
istalgan tartibli uzluksiz hosilalarga ega yoki uzilishga ega bo’lsa, uzilish
nuqtalari chekli
yoki uzilish
nuqtalari bo’lgan oraliqlari ham chekli bo’lishi kerak.
2. t
bo’lsa, f(t)
0 bo’ladi.
3. f (t) funksiyaning o’sishi, ko’rsatkichli funksiyaning o’sishidan tez
bo’lmaydi, chunki t ga bog’liq bo’lmagan shunday musbat M
0, S
o
0 sonlar
mavjudki,
katta
t uchun
f(t)
t
o
S
Me
bo’ladi.
Bu yerda S
o
originalning o’sishi tartibini ko’rsatuvchi son. Agar S
o
=0 bo’lsa,
original o’zgarmas bo’ladi.
Original f(t) funksiya yuqoridagi 3
ta shartni qanoatlantirganda, kompleks
o’zgaruvchi t=s+i
ning funksiyasi bo’lgan
0
)
(
pt
e
t
f
dt itegralga original f(t)
funksiyaning tasviri yoki Laplas almashtirishi yoki Laplas funksiyasi deyiladi va
F(t)
bilan belgilanadi
F(t)=
0
)
(
pt
e
t
f
dt (1)
Original tasvir ko’pincha quyidagicha belgilanadi: F(t)
f(t) yoki f(t)
F(t).
