|
1-Maruza. Elementar hodisalar fazosi. Ehtimolning ta’riflari
|
| Sana | 05.04.2024 | | Hajmi | 0.54 Mb. | | #188333 |
Bog'liq 1-maruza ma\'lumotnoma, GTM, Elektr jihozlari avto servis, Rul tatanchlarini moylash, maqola, Treyder-va-investor, avto elektr, sAU1bkLXKfOBoAaL, PedPsix (3) (2) — копия, Model va modellashtirish. Model turlari Reja Model tushunchasi, vatanparvarlik, insonparvarlik Mustaqil ish, Induktivlik - Vikipediya, 99 08.05.2023, 9 SINFLAR, 99
1-Maruza. Elementar hodisalar fazosi. Ehtimolning ta’riflari.
Reja:
1. Tasodifiy hodisalar va ular ustida amallar.
2. Elementar hodisalar fazosi
Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika - matematik fan, chunki u dastlabki berilgan sistemasiga suyangan holda keyingi teorema va natijalarni keltirib chiqaradi. Dastlabki tugal aksiomalar sistemasini A.N.Kolmogorov o‘zining «Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari» (1936) nomli kitobida bayon etgan. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika turli tarmoqlarda, jumladan iqtisodiy masalalarni yechishda keng ko‘lamda qo‘llaniladi.
Umuman olganda, tabiat va jamiyat qonunlari o‘z hususiyatlariga tayanganda ikki turga bo‘linadi: aniq hisoblab bo‘ladigan va statistik.
Masalan: Quyosh sistemasidagi planetalarning o‘zaro joylashuv holatini, quyosh va oy tutilishini va shunga o‘xshash ko‘plab hodisalarni aniq hisoblab oldindan aytish mumkin. Ob- havo, narx-navo, hosilning mo‘l bo‘lishi va bo‘lmasligini oldindan aniq aytish qiyin. Odatda bunday qonunlar statistik qonunlar deb yuritiladi. Ehtimollar nazariyasi, ma’lum bir shartlar kompleksi bajarilganda, ko‘p marta takrorlanadigan ommaviy tasodifiy hodisalardagi qonuniyatlarni o‘rganadi. Har bir tasodifiy hodisaning asosiy hossasi esa ehtimollik deb ataluvchi kattalik bilan ifodalanadi.
Ma’lum shartlar kompleksi bajarilganda har doim ro‘y beradigan hodisa muqarrar hodisa deyiladi va U bilan belgilanadi. Muqarrar hodisalarning fizik mohiyati turlicha bo‘lishiga qaramay ularning matematik mohiyati bitta, ya’ni har doim ro‘y beradi. Masalan: Agar o‘yin kubigining har yog‘iga 1 raqami yozilgan bo‘lsa, bu kubikni tashlaganda 1 raqami tushish hodisasi muqarrar hodisa bo‘ladi.
Ma’lum shartlar kompleksi bajarilganda ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisa ro‘y bermaydigan hodisa deyiladi va V bilan belgilanadi.
Ma’lum shartlar kompleksi bajarilganda ro‘y berishi ham, ro‘y bermasligi ham mumkin bo‘lgan hodisa tasodifiy hodisa deyiladi va A,B,C,… bilan belgilanadi. Har qanday tasodifiy hodisa juda ko‘p holatlar va sabablar natijasida ro‘y beradi yoki ro‘y bermaydi. Bu sabablarning barchasini batafsil o‘rganishning imkoni yo‘q. Shu sababli ehtimollar nazariyasi va matematik statistika har bir qaralayotgan hodisaning ro‘y berishi yoki bermasligini avvaldan aytib berishni o‘z oldiga maqsad qilib qo‘ygan emas.
A va B hodisalarning yig‘indisi deb shu hodisalardan birortasi ro‘y berganda ro‘y beradigan hodisaga aytiladi. C=A+B. A va B hodisalarning ko‘paytmasi AB deb ikkala hodisa ro‘y berganda- gina ro‘y beradigan hodisaga aytiladi. A hodisadan B hodisaning ayirmasi deb B hodisa ro‘y bermay A hodisa ro‘y bergandagina ro‘y beradigan hodisaga aytiladi. Belgilanishi A-B. A hodisa ro‘y bermagandagina ro‘y beradigan hodisaga A hodisaga qarama-qarshi hodisa deyiladi va Ā deb belgilanadi.
Tasodifiy hodisalar ustida amallar.
2.6-ta’rif. Agar tajriba natijasida hodisa ro‘y berganida hodisa albatta ro‘y bersa, hodisa hodisani ergashtiradi deb ataladi va kabi yoziladi.
Masalan, tajriba o‘yin soqqasini tashlashdan iborat bo‘lsin. hodisa “4” ochko tushishidan iborat hodisa, esa “juft” ochko tushishidan iborat hodisa bo‘lsin. U holda ravshanki .
2.7-ta’rif. Agar hodisa hodisani ergashtirsa va o‘z navbatida hodisa hodisani ergashtirsa, u holda A va ekvivalent yoki teng kuchli hodisalar deb ataladi va A= kabi yoziladi.
Masalan, tajriba o‘yin soqqasini uch marta tashlashdan iborat bo‘lib, A hodisa “har xil toq ochkolar” tushishidan iborat, hodisa esa tushgan ochkolar ko‘paytmasi “15” ga tengligidan iborat bo‘lsa, u holda = bo‘ladi.
2.8-ta’rif. Tajriba natijasida va hodisalardan kamida bittasining ro‘y berishidan iborat hodisa ularning yig‘indisi deb ataladi va + bilan belgilanadi.
Masalan, tajriba o‘yin soqqasini tashlashdan iborat bo‘lib, A hodisa “toq ochkolar” tushishidan iborat, hodisa esa “2 yoki 4 ochkolari” tushishidan iborat bo‘lsa, u holda va hodisalarning yig’indisi “5 dan ortiq bo‘lmagan ochko” tushishidan iborat hodisa bo‘ladi.
2.9-ta’rif. Tajriba natijasida va hodisalarning birgalikda ro‘y berishidan iborat hodisa ularning ko‘paytmasi deb ataladi va kabi belgilanadi.
Masalan, tajriba o‘yin soqqasini tashlashdan iborat bo‘lib, A hodisa “toq ochkolar” tushishidan iborat, hodisa esa “3 yoki 4 ochkolari” tushishidan iborat bo‘lsa, u holda va hodisalarning ko‘paytmasi “3 ochko” tushishidan iborat hodisa bo‘ladi.
2.10-ta’rif. Agar A va hodisalar bir paytda ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisalar, ya’ni bo‘lsa, u holda va birgalikda bo‘lmagan hodisalar deyiladi. Aks holda ular birgalikda bo‘lgan hodisalar deyiladi.
Boshqacha aytganda tajribada birining ro‘y berishi qolganlarining ro‘y berishini yo‘qqa chiqaradigan hodisalarga birgalikda bo‘lmagan hodisalar deb atalar ekan.
Masalan, tanga tashlash natijasida bir vaqtda gerbli va raqamli tomonlar tushish hodisalari birgalikda bo‘lmagan hodisalardir.
2.11-ta’rif. Agar va hodisalarning yig‘indisi muqarrar hodisa, ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lmagan hodisa, ya’ni , bo‘lsa, u holda va hodisalar o‘zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. Odatda hodisaga qarama-qarshi hodisa kabi belgilanadi. Demak, , .
Masalan, tangani bir marta tashlashdan iborat tajribada gerbli va raqamli tomonlari tushishidan iborat hodisalar qarama-qarshi hodisalardir. Shunga o‘xshash detalning standartligini tekshirishdan iborat tajribada detalning standart chiqish hodisasi va standart chiqish hodisasi qarama-qarshi hodisalardir.
2.12-ta’rif. Tajriba natijasida hodisaning ro‘y berishidan, hodisaning esa ro‘y bermasligidan iborat hodisa va hodisalar ayirmasi deb ataladi va kabi belgilanadi.
Masalan, tajriba to‘liq qartalar dastasidan bitta qartani tortishdan iborat bo‘lib, hodisa “g‘ishtin” qartaning hodisa esa istalgan “dama” qartaning chiqishdan iborat bo‘lganda - hodisaning ro‘y berishi chiqqan qarta “dama”dan farqli “g‘ishtin” qarta bo‘lishini anglatadi.
Eslatma. Xuddi shunday chekli sondagi hodisalarning yig‘idisi va ko‘paytmasi ta’riflari ham 1.8 va 1.9- ta’riflarga o‘xshash ta’riflanadi.
2.13-ta’rif. Agar , ya’ni tajribada hodisalardan hech bo‘lmaganda biri ro‘y bersa, bu hodisalar hodisalarning to‘la guruhini tashkil qiladi deyiladi.
Agar , ( ) bo‘lsa hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarning to‘la guruhini tashkil etadi deyiladi.
Agar bir nechta hodisalardan istalgan birini tajriba natijasida ro‘y berishi boshqalariga qaraganda imkoniyatliroq deyishga asos bo‘lmasa, bunday hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi.
Masalan tanga tashlanganda gerbli tomon va raqamli tomon tushishlaridan iborat hodisalar teng imkoniyatlidir.
2.2-misol. Uchta talaba bir biri bilan bog‘lanmagan holda bitta masalani ishlayaptilar. Faraz qilamiz, hodisa – birinchi talaba masalani yechdi, ikkinchi talaba masalani yechdi, uchinchi talaba masalani yechdi. hodisalar orqali, quyidagi hodisalarni ifodalang:
1) - barcha talabalar masalani yechdi;
2) - masalani faqat birinchi talaba yechdi;
3) - hech bo‘lmaganda bitta talaba masalani yechdi;
4) - masalani faqat bitta talaba yechdi.
Yechish. 1) hodisaning ro‘y berishi, bu hodisalarni bir vaqtda ro‘y berganini bildiradi, ya’ni hodisalarning ko‘paytmasini ifodalaydi: .
2) Bu holda hodisa ro‘y berdi, va hodisalar ro‘y bermadi, ya’ni va hodisalar ro‘y berdi. Shunday qilib, .
3) hodisa shuni bildiradiki, yo hodisa, yo hodisa, yo hodisa, yoki ulardan ixtiyoriy ikkitasi, yoki uchala hodisa birgalikda ro‘y bergan, ya’ni ularning yig‘indisi ifodalaydi .
4) Masalani faqat birinchi talaba yechgan yoki faqat ikkinchi talaba yoki faqat uchinchi talaba ya’ni bu hodisalarning yig‘indisini tashkil etadi
.
2.3-misol. ifodani soddalashtiring.
Yechish.
.
Shunday qilib . Isbotlashda biz quyidagi xossalardan foydalandik:
bunda elementar hodisalar fazosi.
2.4-misol. Faraz qilamiz va tasodifiy hodisalar bo‘lsin. Quyidagi tenglikni isbotlang:
.
Isboti. Tajribaning ixtiyoriy natijasi elementar hodisa. Faraz qilaylik, bo‘lsin, unda va bo‘ladi, ya’ni , lekin Shunday qilib va . Bundan ya’ni hodisa hodisani ergashtiradi, ya’ni . Shunga o‘xshash munosabat isbotlanadi. Bulardan kelib chiqadi.
2.5-misol. isbotlang, bunda va tasodifiy hodisalar. Hodisalarning geometrik talqinini keltiring.
Yechish. Hodisalar ustida amallarning xossalariga asosan
fazoni to‘g‘ri to‘rtburchak orqali chizib, elementar hodisalarni (natijalarini) – shu to‘g‘ri to‘rtburchakning nuqtalari deb, hodisani – uning qism to‘plami (to‘plamlarni bunday tasvirlash Eyler-Venn diagrammasi deyiladi), quyidagi rasmni hosil qilamiz:
Ta’rif. Har qanday bo‘sh bo‘lmagan to‘plam elementar hodisalar fazosi deyiladi va Ω deb belgilanadi. Elementar hodisalar fazosi elementlari elementar hodisalar deyiladi va ω bilan belgilanadi. Demak Ω={ω}
1. Ularning har ikkitasi birgalikda emas. (bir vaqtda ro‘y berishi mumkin emas). ωi ·ωj= Ø , i≠j
Misol. Tangani bir marta tashlaganda “gerb” va “raqam” tomoni birdaniga tushmaydi.
2. Barcha elementar hodisalar yig‘indisi Ω ga teng: Ω= ω1+ω2+…+ ωn
Hodisalar teng imkoniyatli deyiladi, agar ularning birortasi ko‘proq ro‘y beradi deb aytib bo‘lmasa.
Ta’rif. Elementar hodisalar fazosi Ω da aniqlangan sonli funksiya P ehtimol deyiladi, agar quyidagi 3 ta shart bajarilsa.
1. Har qanday elementar hodisalar fazosining qismi A(AΩ) uchun P(A)0 (nomanfiylik aksiomasi);
2. P(Ω)=1 (normalashtirish aksiomasi);
3. Birgalikda bo‘lmagan A va B hodisalar uchun P(A+B)=P(A)+P(B) (additivlik aksiomasi).
Har qanday hodisaning ehtimoli deb, shu hodisa tarkibiga kiruvchi elementar hodisalarga mos kelgan elementar ehtimollarning yig‘indisi ga aytiladi.
Har qanday A hodisaning ehtimoli shu hodisani tashkil etuvchi elementar hodisalar sonining barcha elementar hodisalar soni nisbatiga teng.
Muqarrar hodisaning ehtimoli ga, mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli ga, tasodifiy hodisaning ehtimoli bo‘ladi.
Ta’rif. A hodisaning berilgan tajribalar ketma-ketligidagi nisbiy chastotasi deb A hodisa ro‘y bergan tajribalar sonibing o‘tkazilgan barcha tajribalar soniga nisbatiga aytiladi.
Hodisaning nisbiy chastotsiga hodisaning statistik ehtimoli deyiladi.
2. Ehtimolning ta’riflari.
Reja:
1. Teng imkoniyatli hodisalar ehtimollikning klassik ta’rifi.
2. Ehtimollikning statistik ta’rifi.
3. Ehtimolning geometrik ta’rifi.
Faraz qilaylik, elementar hodisalar fazosi cheklita elementar hodisalardan tashkil topgan bo‘lib, ular teng imkoniyatli bo‘lsin.
2.14-ta’rif. Kuzatilayotgan hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar sonining ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar soniga nisbati hodisaning ehtimoli deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Bu yerda hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug’diruvchi hodisalar soni, barcha mumkin bo‘lgan elementar hodisalar soni.
Ehtimolning tarifidan quyidagi xossalar kelib chiqadi.
Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng.
Haqiqatan, agar hodisa muqarrar bo‘lsa, u holda sinashning har bir elementar natijasi bu hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘diradi. Bu holda , va demak,
.
Mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng.
Agar hodisa ro‘y bermaydigan bo‘lsa, u holda sinashlarning hech bir natijasi bu hodisaning ro‘y berishiga qulaylik tug‘dirmaydi. Bu holda , va demak,
.
Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir orasida bo‘ladi.
Tasodifiy hodisaning ro‘y berishiga barcha elementar hodisalarning bir qismigina qulaylik tug‘diradi. Bu yerdan ni olamiz. Demak, bu esa ni keltirib chiqaradi.
Shunday qilib, istalgan hodisaning ehtimoli nol va bir orasida bo‘ladi.
2.15-ta’rif. hodisa ustida ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. hodisaning nisbiy chastotasi deb, hodisa ro‘y berishlar sonining, o‘tkazilgan barcha tajribalar soniga nisbatiga aytiladi, ya’ni
.
Bu yerda o‘tkazilgan barcha tajribalar soni, o‘tkazilgan ta tajribaning tasida hodisa ro‘y bergan.
2.6-misol. Qutida 7 ta oq, 3 ta qora shar bor. Undan tavakkaliga olingan sharning oq bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. olingan shar oq chiqish hodisasi bo‘lsin. Bu sinov 10 ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan iborat bo‘lib, ularning 7 tasi A hodisaga qulaylik tug‘diruvchidir. Demak, .
2.7-misol. Telefonda nomer terayotgan abonent oxirgi ikki raqamni esdan chiqarib qo‘yadi va faqat bu raqamlar har xil ekanligini eslab qolgan holda ularni tavakkaliga teradi. Abonentning kerakli raqamlarni terilganligi ehtimolini toping.
Yechish. –kerakli ikkita raqam terilganlik hodisasi bo‘lsin. Elementar hodisalar soni - o‘nta raqamdan ikkitadan nechta o‘rinlashtirishlar tuzish mumkin bo‘lsa, shuncha , ya’ni ta turli raqamlarni terish mumkin.
Demak,
2.8-misol. Qurilma 5 ta elementdan iborat bo‘lib, ularning 2 tasi eskirgan. Qurilma ishga tushirilganda tasodifiy ravishda 2 ta element ulanadi. Ishga tushirishda eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. bilan qurilma ishga tushirilganda eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish hodisasini belgilaylik. Mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar soni ga teng. Bularning ichidan tasi eskirmagan elementlar ulangan bo‘lish hodisasi uchun qulaylik tug‘diradi. Shuning uchun .
2.9-misol. Texnik nazorat bo‘limi tasodifan ajratib olingan 100 ta kitobdan iborat partiyada 5 ta nuqsonli kitob topdi. Nuqsonli kitoblar chiqish nisbiy chastotasini toping.
Yechish. bilan olingan kitob nuqsonli chiqish hodisasini belgilaylik. 100 kitob tekshirildi. Bundan o‘tkazilgan tajribalar soni ekanligini olamiz. Tekshirish natijasida 5 ta kitob nuqsonli chiqdi, ya’ni 5 ( ) marta hodisa ro‘y berdi. Demak, nuqsonli kitob chiqish hodisasining nisbiy chastotasi
2.10-misol. Nishonga 20 marta o‘q uzilgan shundan 18 ta o‘q nishonga tekkani qayd qilingan. Nishonga tegishlar nisbiy chastotasini toping.
Yechish. Demak, jami o‘tkazilgan tajribalar soni , nishonga tegishlar soni 18 (ya’ni shundan 18 tasida hodisa ro‘y berdi). Shunday qilib, .
2.11-misol. Yashikda 4 ta oq, 10 ta qora va 6 ta ko‘k shar bor. Yashikdan tasodifan bitta shar olinadi. Shu sharning oq rangda bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. Bu yerda elementar hodisalar yashikdan ixtiyoriy shar olinishidan iborat. Barcha bunday natijalar soni yashikdagi sharlar soniga teng, ya’ni . Oq shar chiqishi hodisasini bilan belgilasak, unga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar soni yashikdagi oq sharlar soniga tengligi ravshan, ya’ni . Demak, ta’rifga asosan
2.12-misol. O‘yin kubi tashlanganda juft raqam yozilgan tomoni tushish ehtimoli topilsin.
Yechish. O‘yin kubining 6 ta tomoni bo‘lib, har bir tomoniga 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlardan biri yozilgan. Demak, barcha ro‘y berishi mumkin bo‘lgan elementar hodisalar soni . Juft raqam yozilgan tomoni tushishiga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar esa 2, 4, 6 ya’ni ularning soni . Agar o‘yin kubi tashlanganda juft tomoni tushish hodisasini bilan belgilasak, u holda uning ehtimoli klassik ta’rifga asosan quyidagicha bo‘ladi:
.
2.13-misol. Ikkita o‘yin kubi tashlangan. Kublarning tushgan tomonlaridagi ochkolar yig‘indisi juft son, shu bilan birga kublardan hech bo‘lmaganda bitta tomonida olti ochko chiqish ehtimolini toping.
Yechish. «Birinchi» o‘yin kubida tushgan tomonida bir ochko, ikki ochko va hokazo olti ochko tushishi mumkin. «Ikkinchi» kubni tashlaganda ham shunday oltita elementar hodisadan biri bo‘lishi mumkin. «Birinchi» kubni tashlashdagi hodisalarning har biri «ikkinchi» kubni tashlash natijasidagi har bir hodisa bilan birga ro‘y berishi mumkin. Shunday qilib, barcha mumkin bo‘lgan elementar hodisalar soni ga teng.
Bizni qiziqtirayotgan hodisaga (hech bo‘lmaganda bitta tomonida olti ochko chiqadi, tushgan ochkolar yig‘indisi juft son) qulaylik tug‘diruvchi hodisalar quyidagi beshtadan biri bo‘ladi:
Demak, bo‘lsa, izlanayotgan hodisaning ehtimoli:
2.14-misol. Yashikka 21 ta yaroqli va 10 ta yaroqsiz detal solingan. Uni tashish vaqtida bitta detal yo‘qolgani ma’lum bo‘ldi. Yashikdan (tashishdan keyin) tavakkaliga olingan detal yaroqli detal bo‘lib chiqdi: a) yaroqli detal; b) yaroqsiz detal yo‘qolgan bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. a) Ravshanki, olingan yaroqli detal yo‘qolgan bo‘lishi mumkin emas, qolgan o‘ttizta detalning istalgan biri yo‘qolgan bo‘lishi mumkin, shu bilan birga ularning orasida 20 ta detal yaroqlidir .
Yaroqli detal yo‘qolgan hodisasini bilan belgilasak, uning ehtimoli:
.
b) Har biri ham yo‘qolishi mumkin bo‘lgan o‘ttizta detal orasida 10 ta yaroqsiz detal bor edi. Yaroqsiz detal yo‘qolgan bo‘lishi hodisasi bo‘lsa, uning ehtimoli:
.
2.15-misol. Uchta o‘yin kubini tashlashda ikkita kubning (qaysilari bo‘lishining ahamiyati yo‘q) yoqlarida turli (oltiga teng bo‘lmagan) ochkolar chiqish, qolgan bitta kubda olti ochko chiqish ehtimolini toping.
Yechish. Hamma elementar hodisalar ko‘rinishda bo‘lib, lar 1dan 6 gacha bo‘lgan natural qiymatlarni qabul qiladi, demak, ular soni ga teng. Bitta yoqda olti ochko va qolgan ikkita kubning yoqlarida turli (oltiga teng bo‘lmagan) ochkolar chiqishiga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar ko‘rinishda bo‘lib, lar 1 dan 5 gacha bo‘lgan har xil natural qiymatlarni qabul qiladi, demak, ular soni ga teng. Xuddi shunday birida 6 ochko qolgan ikkita kubning yoqlarida turli oltiga teng bo‘lmagan ochkolar chiqishiga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar soni bo‘ladi. Izlanayotgan ehtimol bizni qiziqtirayotgan hodisalar soni ni barcha mumkin bo‘lgan elementar hodisalarning jami soni ga nisbatiga teng:
2.16-misol. ta detaldan iborat partiyada ta yaroqli detal bor. Tavakkaliga ta detal olingan. Olingan detallar orasida rosa ta yaroqli detal bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. Hamma elementar hodisalar soni ta detaldan tadan detalni ajratib olish usullari soniga, ya’ni ta elementdan tadan tuzilgan gruppalashlar soni ga teng.
Bizni qiziqtirayotgan hodisaga ( ta detal orasida rosa ta yaroqli detal bor) qulaylik tug‘diruvchi hodisalar sonini hisoblaymiz: ta yaroqli detal orasidan ta yaroqli detalni ta usul bilan olish mumkin; bunda qolgan ta detal yaroqsiz bo‘lishi lozim: ta yaroqsiz detalni esa ta yaroqsiz detal orasidan usul bilan olish mumkin. Demak, qulaylik tug‘diruvchi hodisalar soni ga teng.
Izlanayotgan ehtimol, hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar sonining barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga teng:
.
Ehtimolning geometrik ta’rifi. Biror G soha berilgan bo‘lib, bu soha g sohani o‘z ichiga olsin. G sohaga tashlangan nuqtaning g sohaga ham tushish ehtimolini topish talab qilinadi. Tashlangan nuqta G sohaga albatta tushsin va uning biror g qismiga tushish ehtimoli shu qismning o‘lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga) proporsional bo‘lib, g ning formasiga va g ni G ning qay yerida joylashganligiga bog‘liq bo‘lmasin. Bu shartlarda nuqtaning g sohaga tushish ehtimoli
(2.1)
(2.2)
formulalar yordamida aniqlanadi.
2.17-misol. Uzunligi 30 sm bo‘lgan L kesmaga uzunligi 20 sm kesma joylashtirilgan. L kesmaga tavakkaliga tashlangan nuqtaning kesmaga tushish ehtimolini toping.
Yechish. L kesmaning uzunligi 30 sm, kesmaning uzunligi 20 sm. (2.1) formulaga ko‘ra izlanayotgan ehtimol quyidagicha topiladi:
2 .18-misol. Radiusi ga teng doiraga kvadrat ichki chizilgan. Doiraga tavakkaliga tashlangan nuqtani kvadratga tushish ehtimolini toping.
Yechish. Doiraning yuzi , kvadratning yuzi (2.1-chizma). (2.2) formulaga asosan doiraga tavakkaliga tashlangan nuqtaning kvadrat ichiga tushish ehtimoli
2.1-chizma.
2.19-misol. Tomoni ga teng kvadratga doira ichki chizilgan. Kvadratga tavakkaliga tashlangan nuqtani doiraga tushish ehtimolini toping.
Yechish. Doiraning yuzi , kvadratning yuzi (2.2-chizma). (2.2) formulaga asosan doiraga tavakkaliga tashlangan nuqtaning kvadrat ichiga
tushish ehtimoli
2.20-misol. kesmadan tavakkaliga ikkita va sonlari tanlangan. Bu sonlar va tengsizliklarni qanoatlantirish ehtimolini toping.
Yechish. Masalaning shartidan nuqtaning kordinatalari
tengsizliklar sistemasini qanoatlantiradi. Bizni qiziqtirayotgan hodisa tanlanadigan nuqta shtrixlangan figuraga tegishli bo‘lgan holda va faqat shu holda ro‘y beradi. Bu figura kordinatalari tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalarning to‘plami sifatida hosil qilingan. Demak, izlanayotgan ehtimol shtrixlangan figura yuzining kvadrat yuziga nisbatiga teng, ya’ni
.
2.21-misol. Telefon soat 11 dan 11.30 gacha qilinishi ma’lum. Agar telefon qilish momenti tasodifiy bo‘lsa, ko‘rsatilgan oraliqning so‘nggi 10 minutida telefon qilish ehtimoli qancha?
Yechish. Geometrik sxemadan foydalanamiz. Buning uchun soat 11 dan 11.30 gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ini uzunligi 30 birlik bo‘lgan kesma, soat 11.20 dan 11.30 ga bo‘lgan vaqt oralig‘ining uzunligi 10 birlik bo‘lgan kesma ko‘rinishida tasvirlaymiz (2.3-chizma). Qaralayotgan yarim soatning biror momentida tasodifiy telefon qilinishi kesmadan tavakkaliga olingan nuqta bilan tasvirlanadi. U holda soat 11.20 dan 11.30 gacha intervalda telefon qilinish ehtimoli hosil qilingan sxemada kesmadan tavakkaliga olingan nuqta kesmaga tegishli bo‘lib qolish ehtimolini bildiradi. Bu ehtimol, ravshanki quyidagiga ga teng:
.
2.22-misol. vaqt oralig‘ining ixtiyoriy momentida priyomnikka ikkita signal kelishi teng imkoniyatli. Agar signallar orasidagi vaqt bo‘yicha farq dan kichik ( ) bo‘lsa, priyomnik band deb hisoblanadi. Priyomnikning band bo‘lish ehtimoli qancha?
2.3-chizma. 2.4-chizma.
Yechish. To‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini qaraymiz. va mos ravishda birinchi va ikkinchi signallarning priyomnikka keladigan momentlari bo‘lsin. Unda signallar kelishining barcha mumkin bo‘lgan kombinatsiyalari kvadrat nuqtalari bilan tasvirlanadi. vaqt oralig‘i ichida signallar kelishi teng imkonli bo‘lgani uchun nuqtalarning qaralayotgan kvadrat sohadagi vaziyatlari ham teng imkoniyatli.
Kvadradning qaysi nuqtalari bizni qiziqtirayotgan (priyomnik band) hodisaga qulaylik tug‘dirishini aniqlaymiz. hodisa signallar orasidagi vaqt bo‘yicha farq dan kichik, ya’ni
(2.3)
bo‘lsagina ro‘y beradi.
Shunday qilib, kvadratning hodisaga qaraylik tug‘diradigan sohasi (2.4-chizmada u shrtixlangan) koordinatalari (2.3) tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalardan iborat ekan. Kvadratning yuzi shtrixlangan sohaning yuzi
.
Bundan quyidagini olamiz:
24-Ma’ruza. Ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari.
Reja:
1. Ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari.
2. Shartli ehtimol tushunchasi. Bog‘liqmas hodisalar.
Ehtimollarni qo’shish teoremalari (qoidalari) bilan tanishamiz.
1-teorema. Birgalikda bo’lmagan va hodisalar yig’indisining ehtimoli shu hodisalar ehtimollarining yig’indisiga teng , ya’ni
Isboti. yoki hodisaning ro’y berishi mumkin bo’lgan barcha elementar natijalari soni bo’lsin. Ulardan tasi hodisaga, tasi hodisaga moyil bo’lsin. Yaqqol tasavvur etish uchun ularni nuqta ko’rinishda tasvirlaymiz (1-shakl).
Klassik ta’tifga ko’ra , .
va hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lgani sababli bir vaqitda ham hodisaga ham hodisaga moyil elementar natijalar mavjud bo’lmaydi. Shu sababli hodisaga elementar natija moyil bo’ladi.
Bundan
Bir necha juft-lufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar uchun qo’shish teoremasi
shu kabi ifodalanadi va isbotlanadi.
Shunday qilib
. (1)
1-misol. O’yin kubigi tashlanganda 2 ochko yoki 5 ochko tushishi hodisalarining ehtimolini toping.
Y e c h i s h. 2 ochko tushishi, 5 ochko tushishi hodisalari bo’lsin. va hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalar, bunda , .
U holda
2- teorema. Juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan to’la guruh tashkil etuvshi
hodisalar ehtimollarining yig’indisi birga teng, ya’ni
(2)
Isboti. To’la guruh tashkil etuvchi hodisalar uchun . Bundan tashqari juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar uchun . Tengliklarni solishtirib, topamiz:
.
1-natija. Qarama – qarshi hodisalar ehtimollarining yig’indisi birga teng, ya’ni
. (3)
Bundan yoki , belgilashlar kiritsak, kelib chiqadi.
2-misol. 6 ta oq va 2 ta rangli shar solingan qutidan tavakkaliga 4 ta shar olinadi. Olingan sharlar ichida hech bo’lmaganda bitta rangli shar bo’lishi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. olingan sharlar ichida hech bo’lmaganda bitta rangli shar bo’lishi hodisasi bo’lsin.
U holda olingan sharlar ichida rangli shar bo’lmasligi hodisasi bo’ladi.
ni topamiz. 8 ta sharlar ichidan 4 ta sharni ta usul bilan olish mumkin. 6 ta oq shardan 4 ta sharni ta usul bilan olish mumkin.
U holda
Bundan
2. Ehtimollarni ko’paytirish teorimalari
1-ta’rif. Agar hodisaning ro’y berishi hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligiga bog’liq bo’lmasa, u holda va hodisalarga bog’liqmas hodisalar deyiladi.
Masalan, tanga ikki marta tashlanganda tangani ikkinchi tashlashda gerbli tomoni tushishi hodisasi tangani birinchi tashlashda gerbli tomoni tushishi hodisasiga bog’liq emas.
2-ta’rif. Agar hodisaning ro’y berishi hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligiga bog’liq bo’lsa, u holda va hodisalarga bog’liq hodisalar deyiladi.
Masalan, oq va qora sharlar solingan idishdan tavakkaliga ketma-ket ikkita shar olinsin va birinchi shar idishga qaytarilmasin. Bunda idishdan olingan ikkinchi sharning oq bo’lishi hodisasi idishdan olingan birinchi sharning oq bo’lishi hodisasiga bog’liq bo’ladi.
3-ta’rif. hodisaning hodisa ro’y berdi degan shartda hisoblangan ehtimoliga hodisaning hodisa ro’y berishi shartidagi shartli ehtimoli deyiladi va yoki bilan belgilanadi.
Agar yoki bo’lsa, u holda va hodisalar bog’liq hodisalar bo’ladi.
Agar va bo’lsa, u holda va hodisalar bog’liqmas hodisalar bo’ladi.
3-teorema. va hodisalar ko’paytmasining ehtimoli hodisalardan birining ehtimoli bilan ikkinchisining birinchi hodisa ro’y berishi shartidagi shartli ehtimoli ko’paytmasiga teng, ya’ni
. (4)
I sboti. ta elementar natijalardan tasi hodisaga, tasi hodisaga moyil bo’lsin. Bunda va hodisalar birgalikda bo’lgan hodisalar, ya’ni ta elementar natijalardan ham hodisaga ham hodisaga moyillari mavjud (2-shakl).
U holda
Bundan
3-misol. 2 ta oq va 5 ta qora shar solingan qutidan tavakkaligiga ketma-ket ikkita shar olinadi va olingan birinchi shar qutiga qaytarilmaydi. Qutidan olingan ikkala sharning oq bo’lishi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. Quyidagi hodisalarni qaraymiz: olingan birinchi shar oq,
olingan ikkinchi shar oq, olingan har ikkala shar oq.
U holda
Bundan
(4) ehtimollarni ko’paytirish qoidasi istalgan sondagi hodisalar uchun quyidagicha umumlashtiriladi:
, (5)
ya’ni bir necha hodisalar ko’paytmasining ehtimoli ulardan birining ehtimoli bilan qolganlarining shartli ehtimollari ko’paytmasiga teng bo’ladi, bunda har bir shartli ehtimol o’zidan oldingi barcha hodisalar ro’y berishi shartida hisoblanadi.
(5) formula matematik induksiya metodi bilan isbotlanadi.
4-misol. Oldingi mashg’ulotdagi 4-misolni (5) formula bilan eching.
Y e c h i s h. “matematika” so’zi hosil bo’lishi hodisasi bo’lsin. Bu hodisa birinchi harf M (10 dan 2 imkoniyat), ikkinchi harf A (9 dan 3 imkoniyat),…,oxirgi harf A (1 dan 1 imkoniyat) bo’lganida ro’y beradi.
Demak,
Shu kabi “KATET” so’zi hosil bo’lishi hodisasining ehtimolini topamiz:
4-ta’rif. hodisalardan istalgan bittasining ro’y berishi qolganlarining har qanday ko’paytmasi ro’y bergan yoki ro’y bermaganligiga bog’liq bo’lmasa, bu hodisalarga birgalikda bog’liqmas hodisalar deyiladi.
3- va 4- teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
2-natija. Bog’liqmas va hodisalar ko’paytmasining ehtimoli ularning ehtimollari ko’paytmasiga teng, ya’ni
.
3-natija. Birgalikda bog’liqmas hodisalar ko’paytmasining ehtimoli
ularning ehtimollari ko’paytmasiga teng, y’ani
Xususan bir xil ehtimolga ega hodisalar uchun
bo’ladi.
4-teorema. Birgalikda bog’liqmas hodisalardan hech bo’lmaganda bittasining ro’y berishdan iborat bo’lgan hodisaning ehtimoli
(6)
ga teng.
Isboti. bo’lganligi uchun .
Bundan
Xususan bir xil ehtimolga ega hodisalar uchun
(7)
bo’ladi.
5-misol. 3 ta merganning nishonga tekkizish ehtimollari mos ravishda ga teng. Uchchala mergan baravariga o’q uzganda nishonning yakson bo’lishi ehtimolini toping. Bunda nishon yakson bo’lish uchun unga bitta o’q tegishi kifoya.
Y e c h i s h. Merganlarning nishonga tekkazishi hodisalari mos ravishda bo’lsin. Bu hodisalar bog’liqmas, chunki har bir mergan nishonga mustaqil o’q uzadi. U holda , va .
Izlanayotgan ehtimol
.
6-misol. Pul-buyum lotoreyasida biletlarning yarmi yutuqli. Hech bo’lmaganda
bitta biletga yutyq chiqishiga dan kam bo’lmagan ehtimol bilan ishonch
hosil qilish uchun nechta billet sotib olinishi kerak?
Y e c h i s h. biletga yutuq chiqishi hodisasi ning ehtimoli bo’lsin, ya’ni . U holda ta olingan biletdan hech bo’lmaganda bitta biletga yutuq chiqishi ehtimoli (7) formulaga binoan ga teng. Misolning shartiga ko’ra yoki hamda yoki
Bundan , ya’ni . Demak, 10 ta billet sotib olinishi kerak.
5-teorema. Birgalikda bo’lgan va hodisalar yig’indisining ehtimoli shu hodisalar ehtimollari yig’indisidan ularning birgalikda ro’y berishi ehtimolini ayrilganiga teng, ya’ni
. (8)
Isboti. hodisalarni quyidagicha birgalikda bo’lmagan hodisalar
y ig’indisi ko’rinishida ifodalaymiz: (3-shakl).
Birgalikda bo’lmagan hodisalarni qo’yish teoremasiga
ko’ra ,
.
Bundan
7-misol. Ikkita mergan bir biriga bog’liq bo’lmagan holda nishonga o’q uzmoqda. Merganlarning hech bo’lmaganda bittasi o’qni tekkazsa, nishon yakson bo’ladi. Birinchi merganning nishonga tekkazish ehtimoli 0,8 ga, ikkinchi merganniki 0,6ga teng bo’lsa,
nishonning yakson bo’lishi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. birinchi merganning nishonga tekkazishi hodisasi, ikkinchi
merganning nishonga tekkazishi hodisasi bo’lsin. va bog’liqmas hodisalar bo’lgani
sababli hech bo’lmaganda bitta merganning nishonga tekkaizishi hodisasining ehtimoli
bo’ladi.
Mustahkamlash uchun savollar:
1. Ehtimollarni qo‘shish formulalarini tushuntiring.
2. Ehtimollarni ko‘paytirish formulalarini tushuntiring.
3. Shartli ehtimol ta’rifini keltiring.
|
| |
