Darajali qatorlar. Funksional qatorning muhim xususiy holi darajali qatorlardir.
Darajali qator deb
(8)
ko’rinishdagi qatorga aytiladi. Bu yerda va koeffisiyentlar dastlab (8) darajali qatorning yaqinlashish sohasi qanday ko’rinishda bo’lishini aniqlaymiz. Bu qator hadlarining absalyut qiymatlaridan tuzilgan musbat hadli
(9)
Qatorni qaraymiz va unga Dalamber alomatini qo’llaymiz. Buning uchun
oldingi handing keyingi hadga nisbatining dagi limitini topamiz:
mavjud deb faraz qilaylik. Uni bilan belgilaylik, ya’ni U holda
Agar bo’lsa, u holda Dalamber alomatiga o’zgaruvchi ishorali (8) qator ham o’zgaruvchi ishorali qator yaqinlashishining umumiy yetarlilik alomatiga asosan yaqinlashuvchi bo’ladi, ravshanki, bunda absulyut yaqinlashuvchi degan xulosaga kelamiz. Biroq bu holda o’zgaruvchi ishorali (8) qator ham o’zgaruvchi ishorali qatorlar yaqinlashishning umumiy yetarlilik alomatiga asosan yaqinlashuvchi bo’ladi, ravshanki, bunda absalyut yaqinlashuvchi bo’ladi. Agar bo’lsa, (9) qator uzoqlashuvchi bo’ladi. Bu holda yetarlicha katta lar uchun (9) qatorning hadlari o’sadi. Shu sababli umumiy holda had da nolga intilmaydi. Demak (8) qatorning umumiy hadi, ya’ni ham nolga intilmaydi. Shu sababli ning tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha qiymatlari uchun (8) darajali qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Nihoyat, bo’lsa, u holda bu yerda Dalamber alomatini qo’lab bo’lmaydi va (8) qator ham (9) ham konkret hollarga bog’liq ravishda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.
Shunday qilib, mavjud va nolga teng emas deb faraz qilib, ushbu teoremani isbot qildik.
Teorema. Ushbu
darajali qatorning yaqinlashish sohasi interval bo’lib, bu intervalga konkret hollarga bog’liq ravishda uning –R va R oxirlari qo’shilishi mumkin. intervalning har bir har bir nuqtasida qator absalyut yaqinlashadi.
interval darajali qatorning yaqinlashish intervali, bu interval uzunligining yarmi, ya’ni son esa yaqinlashish radiusi deb ataladi.
|
