Muavr va Eyler formulalari. Kompleks sonni darajaga ko’tarish.
Ko‘paytirish qoidasidan darajaga ko‘tarish qoidasi kelib chiqali.
uchun natural n da
ekani kelib chiqadi. Bu formula Muavr formulasi deyiladi. Bu formula kompleks sonni natural darajaga ko‘tarishda modul shu darajaga ko‘tarilishi, argument esa daraja ko‘rsatkichiga ko‘paytirilishi kerakligini ko‘rsatadi.
5-misol. Mavhum birlik i ning natural darajasi uchun formula toping.
Yechish.
.
Umuman,
6-misol. ni hisoblang.
Yechish.
Ildizdan chiqarish.
Bu amal darajaga ko‘tarish amaliga teskari amaldir. Kompleks sonning n darajali ildizi deb shunday W songa aytiladiki, bu sonning darajasi ildiz ostidagi songa tengdir, ya’ni agar bo‘lsa,
Agar va bo‘lsa, u holda: Muavr formulasiga binoan:
Bundan va nitopamiz:
Bunda – istalgan butun son, -arifmetik ildiz. Demak,
.
ga qiymatlar berib, ildizning ta har xil qiymatiga ega bo‘lamiz, bu qiymatlarning modullari bir xil. daildizning topilgan qiymatlari bilan bir xil bo‘lgan qiymatlar hosil bo‘ladi. ta ildizning hammasi markazi koordinatalar boshida bo‘lib, radiusi ga teng aylana ichiga chizilgan muntazam n tomonli ko‘pburchak uchlarida yotadi.
Mustaqil echish uchun misollar.
1. va bo‘lsa, ni hisoblang. (Javob: .)
2. va bo‘lsa, ni hisoblang. (Javob: )
3. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalang:
4. bo‘lsa, shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: Markazi nuqtada bo‘lgan radiusli doiraning ichki qismi).
5. bo‘lsa, shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: Markazi nuqtada bo‘lgan radiusli doiraning tashqi qismi.)
6. shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: Markazi nuqtada bo‘lgan R1=1 va R2=3 radiusli aylanalar orasidagi halqa.)
7. shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni qanday sohani ifodalaydi? (Javob: va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi gorizontal polosa.)
8. ni hisoblang.(Javob: .)
9. tenglamaning ildizlarini toping. (Javob: .)
10. Hisoblang: .
11. Tenglamalarni yeching: 1) , 2) .
12. Eyler formulasidan foydalanib
yig‘indini hisoblang. ( .
|
