2-mustaqil ish chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari. Yaqinlashish shartlari reja

2-MUSTAQIL ISH
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI TAQRIBIY YECHISH USULLARI. YAQINLASHISH SHARTLARI
REJA:

1. 
   
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari
   
2. 
   
   Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari
   
3. 
   
   Tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari va ularni kompyuterda bajarish
   
4. 
   
   Yaqinlashish shartlari
   

Chiziqli algebraik tenglamalar sestemalarini yechish uchun bir nechta usullar mavjud. Bu usullar quyidagilardir:

1. Eliminatsiya usuli: Bu usulda, sestemadagi bir nechta tenglamalardan birini o'zgartirib, boshqa bir tenglamaga o'tkazamiz. Bunda, o'zgartirilgan tenglama o'zgaruvchilardan birini olib tashlash imkoniyatini beradi. Keyin, yana bir nechta tenglamalardan birini o'zgartirib, boshqa bir tenglamaga o'tkazamiz va yana o'zgaruvchilardan birini olib tashlaymiz. Bu jarayon davom etguncha, sestema yechimiga yaqinlashamiz.

2. Matritsa usuli: Bu usulda, sestemadagi barcha tenglamalar matritsa shaklida ifodalangan bo'lishi kerak. Keyin, matritsaning determinantisini hisoblaymiz. Agar determinanti nolga teng bo'lsa, sestema yechimga ega emas. Aks holda, matritsaning invertni topamiz va uning har bir elementini sestemadagi o'zgaruvchilarga moslashtiramiz.

3. Gauss-Jordan usuli: Bu usulda, sestemadagi barcha tenglamalar matritsa shaklida ifodalangan bo'lishi kerak. Keyin, matritsaning echimlik shaklini topamiz. Bu shaklda, matritsaning yuqori to'g'ri burchakdagi elementi 1 ga teng bo'lishi kerak. Keyin, bu elementni yuqori qatorning boshqa elementlariga bo'lib, ularni nolga tenglaymiz. Bunda, sestemadagi bir nechta o'zgaruvchilarning qiymatlari aniqlanadi. Keyin, matritsaning quyidagi qatorlarini o'zgartirib, yuqori qatorlarni nolga tenglaymiz. Bu jarayon davom etguncha, sestema yechimiga yaqinlashamiz.

Bu usullar orqali chiziqli algebraik tenglamalar sestemalarini yechish mumkin. Yaqinlashish shartlari esa, sestemadagi tenglamalar soni va ularning xossalari bo'yicha o'zgaradi. Shuning uchun, har bir sestema uchun yaqinlashish shartlarini alohida hisoblash kerak.

Nazariy va tadbiqiy matematikaning ko‘pgina masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Masalan, funksiyaning n-ta nuqtada berilgan qiymatlari yordamida n-tartibli ko‘phad bilan interpolyatsiyalash yoki funksiyani o‘rta kvadratlar usuli yordamida yaqinlashtirish masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi.
Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilishning manbai uzluksiz funksional tenglamalarni chekli ayirmali tenglamalar bilan yaqinlashtirishdir.
Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechish asosan ikki usulga, ya’ni aniq va iteratsion usullarga bo‘linadi.
Aniq usul deganda chekli miqdordagi arifmetik amallarni aniq bajarish natijasida masalaning aniq yechimini topish tushuniladi.
Iteratsionusullarda chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi ketmaket yaqinlashishlarning limiti sifatida topiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish orqali aniqlash usuli, ya’ni Gauss usulini ko‘rib chiqamiz.
Bu usul bir necha hisoblash yo‘llariga ega. Shulardan biri Gaussning kompleks yo‘lidir.
Ushbu sistema berilgan bo‘lsin

Faraz qilaylik, a₁₁≠0 (etakchi element) bo‘lsin, aks holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirib, x₁ oldidagi koeffisienti noldan farqli bo‘lgan tenglamani birinchi o‘ringa ko‘chiramiz.

Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini a₁₁ ga bo‘lib,
х1 +b12(1) x2 +...+b1(n1) xn =b1(,1n)+1 (2)
ni hosil qilamiz, bu yerda

a12 =b12(1),. . . , aa111n =b1(n1), aa1,11n+1 =b1(,1n)+1a11
yoki qisqacha b₁⁽¹_j⁾ = ^a_a¹11^j (j ≥ 2).
(2) tenglamadan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalarida x₁ ni yo‘qotish mumkin. Buning uchun (2) tenglamani ketma-ket a₂₁, a₃₁, … larga ko‘paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayiramiz. Natijada, quyidagi sistema hosil bo‘ladi.

bu yerda a_ij⁽¹⁾ koeffisientlar

aij(1) =aij −ai1b1(1j) ,(i, j ≥ 2)
formula yordamida hisoblanadi.
Endi (3) sistema ustida ham shunga o‘xshash almashtirishlar bajaramiz. Buning uchun (3) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini yetakchi element a₂₂⁽¹⁾ ≠0 ga bo‘lib,
x2 +b23(2) x3 +...+b2(2n) xn = b2(,2n)+1 (4)
ni hosil qilamiz, bu yerda
(2) a
b2 j =a₂₂(1) ( j ≥3)
(4) tenglama yordamida (3) sistemaning keyingi tenglamalarida yuqoridagidek x₂ ni yo‘qotib,
sistemaga kelamiz, bu yerda

aij(2) =aij(1) −ai(21)b2(2j), (i, j ≥ 2)
Noma’lumlarni yo‘qotish jarayoni davom ettirilib, bu jarayonni m–qadamgacha bajarish mumkin deb faraz qilamiz va m – qadamda quyidagi sistemaga ega bo‘lamiz.
bu yerda
a (m)
(m) mj , a(m)
bmj = a_mm(m) ij =aij(m−1) −aim(m−1)bmj(m) (i, j ≥ m +1) .
Faraz qilaylik, m mumkin bo‘lgan oxirgi qadamning nomeri bo‘lsin. Ikki hol bo‘lishi mumkin: m=n yoki m. Agar m=n uchburchak matritsali va (1) sistemaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi
sistemaga ega bo‘lamiz. Oxirgi sistemadan ketma-ket x_n, x_n−1,..., x₁ larni topish mumkin
(6) uchburchak sistemasining koeffisientlarini topish Gauss usulining to‘g‘ri yurishi, (7) sistemadan yechimini topish Gauss usulining teskari yurishi deyiladi.