070-19 – gruh talabasi Raxmonov Bekzod
9 – Variant
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI TAQRIBIY YECHISH USULLARI
REJA:
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari
Tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari va ularni kompyuterda bajarish
Iteratsion jarayon yaqinlashishining zaruriy shartlari.
Nazariy va tadbiqiy matematikaning ko‘pgina masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Masalan, funksiyaning n-ta nuqtada berilgan qiymatlari yordamida n-tartibli ko‘phad bilan interpolyatsiyalash yoki funksiyani o‘rta kvadratlar usuli yordamida yaqinlashtirish masalalari birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi.
Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilishning manbai uzluksiz funksional tenglamalarni chekli ayirmali tenglamalar bilan yaqinlashtirishdir.
Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasini yechish asosan ikki usulga, ya’ni aniq va iteratsion usullarga bo‘linadi.
Aniq usul deganda chekli miqdordagi arifmetik amallarni aniq bajarish natijasida masalaning aniq yechimini topish tushuniladi.
Iteratsion usullarda chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi ketmaket yaqinlashishlarning limiti sifatida topiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish orqali aniqlash usuli, ya’ni Gauss usulini ko‘rib chiqamiz.
Bu usul bir necha hisoblash yo‘llariga ega. Shulardan biri Gaussning kompleks yo‘lidir.
Ushbu sistema berilgan bo‘lsin
Faraz qilaylik, a11≠0 (etakchi element) bo‘lsin, aks holda tenglamalarning o‘rinlarini almashtirib, x1 oldidagi koeffisienti noldan farqli bo‘lgan tenglamani birinchi o‘ringa ko‘chiramiz.
Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini a11 ga bo‘lib,
х1 +b12(1) x2 +...+b1(n1) xn =b1(,1n)+1 (2)
ni hosil qilamiz, ,be yerda
a12 =b12(1),. . . , aa111n =b1(n1), aa1,11n+1 =b1(,1n)+1 a11
yoki qisqacha b1(1j) = aa111j (j ≥ 2).
(2) tenglamadan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalarida x1 ni yo‘qotish mumkin. Buning uchun (2) tenglamani ketma-ket a21, a31, … larga ko‘paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayiramiz. Natijada, quyidagi sistema hosil bo‘ladi.
bu yerda aij(1) koeffisientlar
aij(1) =aij −ai1b1(1j) ,(i, j ≥ 2)
formula yordamida hisoblanadi.
Endi (3) sistema ustida ham shunga o‘xshash almashtirishlar bajaramiz. Buning uchun (3) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini yetakchi element a22(1) ≠0 ga bo‘lib,
x2 +b23(2) x3 +...+b2(2n) xn = b2(,2n)+1 (4)
ni hosil qilamiz, bu yerda
(2) a
b2 j =a22(1) ( j ≥3)
(4) tenglama yordamida (3) sistemaning keyingi tenglamalarida yuqoridagidek x2 ni yo‘qotib,
sistemaga kelamiz, bu yerda
aij(2) =aij(1) −ai(21)b2(2j), (i, j ≥ 2)
Noma’lumlarni yo‘qotish jarayoni davom ettirilib, bu jarayonni m–qadamgacha bajarish mumkin deb faraz qilamiz va m – qadamda quyidagi sistemaga ega bo‘lamiz.
bu yerda
a (m)
(m) mj , a(m)
bmj = amm(m) ij =aij(m−1) −aim(m−1)bmj(m) (i, j ≥ m +1) .
Faraz qilaylik, m mumkin bo‘lgan oxirgi qadamning nomeri bo‘lsin. Ikki hol bo‘lishi mumkin: m=n yoki m. Agar m=n uchburchak matritsali va (1) sistemaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi
sistemaga ega bo‘lamiz. Oxirgi sistemadan ketma-ket xn, xn−1,..., x1 larni topish mumkin
(6) uchburchak sistemasining koeffisientlarini topish Gauss usulining to‘g‘ri yurishi, (7) sistemadan yechimini topish Gauss usulining teskari yurishi deyiladi.
tartibli ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining ko’rinishi quyidagi ifodadan iiborat:
(1)
Bu yerda lar ma’lum sonlardan iborat bo’lib, noma’lumlarning
k o e f f i ts i ye n t l a r i deyiladi, - noma’lumlar, - (1) sistema tenglamalarining ozod hadlari, ular ham ma’lum sonlardan iborat.
Tenglamalar sietemasining matritsa ko’rinishi:
(2)
Bu yerda
(3)
|
