c nuqtaning ε-atrofida qaralayotgan ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlari yotadi;
c nuqtani ε-atrofining o’ngida qaralayotgan ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotadi.
Demak, c nuqta {xn} ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi ekan, bundan, 2.4.2 - Tasdiqqa ko’ra, c soni ushbu ketma-ketlikning yuqori limiti bo’lishi kelib chiqadi.
Quyi limitning mavjudligi xuddi shunga o’xshash ko’rsatiladi. Q.E.D.
Isbotlangan teoremaning natijasi sifatida Bol’sano-Veyershtrass teoremasini mumtoz ko’rinishida keltiramiz.
2.4.2 - Teorema (B.Bol’sano, K. Veyershtrass.) Har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot 2.4.1 - Teoremadan bevosita kelib chiqadi.
4. Yuqori va quyi limitlarning o’zaro teng bo’lishi ketma-ketlikning yaqinlashishini anglatadi.
2.4.3 - Teorema. Ketma-ketlik faqat va faqat chegaralangan bo’lib, uning yuqori limiti quyi limitiga teng bo’lgandagina yaqinlashadi.
Isbot. 1) Faraz qilaylik, {xn} ketma-ketlik yaqinlashsin. U holda, birinchidan, 2.1.7 - Tasdiqqa ko’ra, bu ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi. Ikkinchidan, yaqinlashuvchi ketma-ketlikning istalgan qismiy ketma-ketligi, ravshanki, ketma-ketlik limitiga yaqinlashadi. Shuning uchun, {xn} ketma-ketlik yagona limit nuqtaga ega bo’lib, uning yuqori limiti quyi limitiga teng bo’ladi.
2) Endi, faraz qilaylik, {xn} chegaralangan bo’lib, uning yuqori va quyi limitlari bitta a soniga teng bo’lsin. a yuqori limit bo’lganiga ko’ra, istalgan ε > 0 uchun a nuqta ε-atrofining o’ngida {xn} ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotishi mumkin. Endi, a nuqta quyi limit bo’lgani uchun, a nuqta εatrofining chapida ham ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotishi mumkin. Demak, biror nomerdan boshlab, {xn} ketma-ketlikning barcha elementlari a nuqtaning ε-atrofida yotar ekan. Bu esa {xn} ketma-ketlikning a soniga yaqinlashishini anglatadi.
5. Yuqori va quyi limit xossalarini o’rganishga o’tamiz. Avval quyidagi sodda tasdiqdan boshlaymiz.
2.4.3 - Tasdiq. Har qanday chegaralangan {xn} ketma-ketlik uchun quyidagi:
(2.4.3)
tengliklar o’rinli.
Isbot. Ravshanki, {xn} va {−xn} ketma-ketliklar bir xil sondagi limit nuqtalarga ega. Shuningdek, agar a nuqta {xn} ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’lsa, −a nuqta {−xn} ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, (2.4.3) tengliklar o’rinli ekan.
Yuqori va quyi limitlar bilan limitlarga qaraganda ehtiyotlik bilan munosabatda bo’lish zarur. Masalan, (2.1.17) tenglikka o’xshash tenglik yuqori limitlar uchun o’rinli emas. Haqiqatan, deylik. U holda
biroq xn + yn = 0 va shuning uchun,
lim (xn + yn) = 0. n→∞
Demak, bu misolda
.
Umumiy holda ketma-ketliklar yig’indisining yuqori va quyi limitlari uchun quyidagi munosabatlar o’rinli ekanini ko’rsatish oson:
lim (xn + yn) ≤ lim xn + lim yn, n→∞ n→∞ n→∞ va
.
Keyinchalik bizga quyidagi tasdiq muhim bo’ladi.
2.4.4 - Tasdiq. Agar ixtiyoriy ikki chegaralangan {xn} va {yn} ketma-ketliklar
xn ≤ yn, n = 1,2,3... (2.4.4)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda
(2.4.5) tengsizliklar bajariladi.
Boshqacha aytganda, agar ikki chegaralangan ketma-ketlik tengsizlik belgisi bilan bog’langan bo’lsa, yuqori va quyi limitlar uchun ham bu tengsizliklar saqlanadi. Isbot. 1) Faraz qilaylik, a - {xn} ketma-ketlikning yuqori limiti va b - {yn} ketma-ketlikning yuqori limiti bo’lsin. U holda istalgan ε > 0 uchun b+ε nuqtadan o’ngda {yn} ketma-ketlikning oshib borsa chekli sondagi elementlari yotadi. Haqiqatan, aks holda Bo’lsano-Veyershtrass teoremasiga ko’ra, b sonidan katta qismiy limit mavjud bo’lar edi.
Demak, biror nomerdan boshlab quyidagi tengsizlik bajariladi:
|
