yn ≤ b + ε.
Shunday ekan, (2.4.4) shartga ko’ra, biror nomerdan boshlab quyidagi tengsizlik ham bajariladi:
xn ≤ b + ε.
Demak, bu tengsizlikni {xn} ketma-ketlikning barcha limit nuqtalari ham qanoatlantiradi va, xususan, uning yuqori limiti ham qanoatlantiradi, ya’ni
a ≤ b + ε.
Bundan, ε > 0 ning ixtiyoriyligini hisobga olsak, a ≤ b tengsizlik kelib chiqadi.
2) Endi quyi limitlar uchun talab qilinyotgan munosabat 2.4.3 - Tasdiqdan bevosita kelib chiqadi:
,
ya’ni (2.4.5) ning o’ng tarafidagi tengsizlik ham o’rinli ekan. Q.E.D.
6. Yuqoridagi tasdiqning tadbiqi sifatida quyidagi muhim misolni keltiramiz.
2.4.2 - Misol. Quyidagi ketma-ketlikni qaraymiz:
. (2.4.6)
Bu ketma-ketlikning yaqinlashishini va u 2.2.2 - Misolda o’rganilgan quyidagi
(2.4.7)
ketma-ketlik bilan bitta limitga ega ekanini isbotlaymiz. Ma’lumki, N’yuton binomi formulasi quyidagi
ko’rinishga ega edi. Agar bu formulada desak,
tenglik hosil bo’ladi.
Bundan n! = (n − k)! · (n − k + 1)(n − k + 2)...(n − 1)n tenglikni qo’llab,
(2.4.8)
munosabatni olamiz.
(2.4.7) va (2.4.8) tengliklardan
en ≤ sn, n = 1,2,3... (2.4.9)
kelib chiqadi.
Endi istalgan m nomerni tayinlab, (2.4.8) yig’indida hadlarini sonini m ta had qolguncha kamaytiramiz. U holda istalgan n > m uchun (2.4.8) dan
tengsizlikka ega bo’lamiz. Demak,
, n > m. (2.4.10)
Biz 2.2.2 - Misolda {sn} ketma-ketlikning e ≤ 3 soniga yaqinlashishini ko’rsatgan edik. Bundan, albatta, ketma-ketlikning yuqori limiti ham e soniga tengligi kelib chiqadi. Shunday ekan, 2.4.4 - Tasdiqni qo’llab, (2.4.9) dan
nlim→∞en ≤ nlim→∞sn = e (2.4.11)
munosabatni olamiz.
Ravshanki, ixtiyoriy tayinlangan m uchun (2.4.10) ning o’ng tarafi n → ∞ da sm ga yaqinlashadi. Shuning uchun, yana 2.4.4 - Tasdiqqa ko’ra, (2.4.10) dan
kelib chiqadi, va bundan, m → ∞ da
(2.4.12)
tengsizlik hosil bo’ladi.
Nihoyat,(2.4.11) va (2.4.12) munosabatlarni taqqoslab,
(2.4.13)
tengsizliklarni olami
Albatta, yuqori limit quyi limitdan kichik bo’la olmaydi. Demak, (2.4.13) dan ikkala qismiy limitlar tengligi kelib chiqadi, ya’ni 2.4.3 - Teoremaga ko’ra, en ketmaketlik yaqinlashar va uning limiti e soni bo’lar ekan.
Boshqacha aytganda, bu intervallar barchasining kesishmasi bo’sh to’plamdir .
|
