Kompyuter injiniring” fakulteti texnologiyalari ki-12-22 guruh talabasi Musurmonov Umidjonning Extimollik va statistika fanidan bajargan

1. 
   Nuqtaviy va oraliq baholar
   
2. 
   Binomial taqsimot
   
3. 
   Puasson taqsimot
   
4. 
   Statistik gipotezalar
   
5. 
   Quvvat funksiyasi
   
6. 
   Ko'p olchovli regressiya va ko'p o'lchovli korrelyatsiya koeffitsienti
   
7. 
   Chiziqli bo'lmagan regressiya parametrlarini topishda EKKU
   

Nuqtaviy va oraliq baholar statistikada, ma'lumotlarning o'zgarishini yoki farqini ifodalovchi miqdorlar bo'lib, ular ko'p turlidagi ma'lumotlarni tahlil qilishda keng qo'llaniladi.

1. **Nuqtaviy baholar (Variance)**: Nuqtaviy bahola, ma'lumotlar to'plamidagi har bir qiymatning o'rtacha qiymatdan qancha qo'lda yurishini ifodalovchi miqdor. Agar bizga bir ma'lumotlar to'plami berilgan bo'lsa, nuqtaviy baholani quyidagi formuladan hisoblaymiz:

\[ \text{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \]

Bu yerda \( x_i \) - har bir ma'lumot qiymati, \( \bar{x} \) - ma'lumotlar o'rtachasi, va \( n \) - ma'lumotlar soni.

2. **Oraliq baholar (Standard Deviation)**: Oraliq bahola, nuqtaviy baholani ko'rsatkichka o'girgan holda hisoblanadi. Bu miqdor statistik tahlilda ma'lumotlar qancha o'zgarishi yoki farqli bo'lishini ko'rsatadi. Oraliq baholani quyidagi formuladan hisoblaymiz:

Binomial taqsimot, statistikada doimiy ravishda yomon yoki yaxshi javob beradigan ikki muammoli nazoratlan ma'lumotni qabul qilish uchun ishlatiladi. Bu taqsimot, faqat ikki mumkin variantdan iborat bo'lgan hamma nazoratlan ma'lumotlar uchun amalga oshiriladi.

Binomial taqsimotning kundalik hayotda ko'p mashhur misoli, masalan, bir davlatning prezidentlik saylovlari, ya'ni biror kishi o'zlashtirilgan saylovlarida yutib turib yutmay olishi ehtimoli.

Binomial taqsimot ma'lum darajada muvaffaqiyatni (masalan, yutishni) ko'rsatish uchun quyidagi shartlarning bajarilishi kerak:

1. Har bir urinishda faqat ikkita nihoyatda ixtiyoriy variant bo'lishi (masalan, yutish yoki yutishmaslik).
2. Har bir urinishda ehtimollik (p) o'zgartirilmagan qolishi kerak. Bu degan ma'noni, har bir urinishda yutish ehtimolligi o'zgarmaydi.
3. Har bir urinishda yutish yoki yutishmaslik ehtimolligi bir-biridan mustahkam o'zi o'zidan farq qilmagan bo'lishi.
4. Barcha urinishlarning mustaqil bo'lishi.

Binomial taqsimotning ehtimollik funksiyasi quyidagi formuladan hisoblanadi:

\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Bu formulada:

- \( P(X=k) \) - n urinishdan k ta muvaffaqiyatni olishning ehtimoli.
- \( n \) - urinishlar soni.
- \( k \) - muvaffaqiyatli urinishlar soni.
- \( p \) - bitta urinishda muvaffaqiyatning ehtimoli.
- \( (1-p) \) - bitta urinishda muvaffaqiyatsizlik ehtimoli.

\( \binom{n}{k} \) esa kombinatsiyalarni ifodalaydi.

Binomial taqsimotlar, statistikada ko'plab muammolarni hal etish uchun qo'llaniladi. Misol uchun, marketing va sotsiologiya sohalarida mijozlar tomonidan mahsulotni sotib olish ehtimoli, narsani sotib olishning ehtimoli, xizmat sifatida ko'rsatish ehtimollari va h.k. ifodalashda binomial taqsimotlardan foydalanish mumkin.

\[ \text{Std}(X) = \sqrt{\text{Var}(X)} \]

Bu formulada \( \text{Var}(X) \) nuqtaviy baholani, \( \sqrt{\ } \) esa kvadrat ildizni ifodalaydi.

Nuqtaviy va oraliq baholar, ma'lumotlarni tahlil qilishda, ularning qanday ko'p o'zgarish yoki farqli bo'lishini aniqlashda va ma'lumotlar o'rtacha o'zgarishlariga qanday bo'ladigan ta'sirini o'rganishda juda muhimdir.

Puasson taqsimoti, bitta muddatda vaqt o'tishi bo'yicha voqea sodir bo'lishining ehtimoli ustida asoslangan. Masalan, bir da'vo, sayohat agentligi tomonidan bir kun davomida bir muzeyga kelgan turistlar soni yoki bir kafedagi kunlik mijozlar soni kabi hodisalar Puasson taqsimot orqali modelleştirilishi mumkin.

Puasson taqsimoti quyidagi shartlar bo'yicha amalga oshiriladi:

1. Hodisalar vaqt oralig'ida sodir bo'lishi kerak.

Puasson taqsimoti ehtimollik funksiyasi quyidagi formuladan hisoblanadi:

\[ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

Bu formulada:

- \( P(X=k) \) - k ta hodisalar sonining ehtimoli.
- \( e \) - Euler soni (2.71828...).
- \( \lambda \) - har bir vaqtda o'rtacha hodisalar soni.
- \( k \) - hodisalar soni.
- \( k! \) - k faktorial, yani \( k \) ni 1 dan \( k \) gacha bo'lgan butun sonlar ko'paytmasi.

Puasson taqsimoti, qisqa muddatli hodisalar uchun sodir bo'lish ehtimolini hisoblashda juda qulaydir. Masalan, tijoratda kunlik xarajatlar, bir soatda kelgan telefon qo'ng'iroqlar soni kabi hodisalar Puasson taqsimot orqali modelleştiriladi.

Statistik gipotezalar, statistikada boshqa ma'lumotlarga asoslangan amaliy natijalarni tekshirish va ma'lumotlarning qanday bir sinfida joylashganligini aniqlash uchun ishlatiladi. Statistik gipotezalarni sinash uchun ikki turlari mavjud:

1. **Parametr haqidagi gipoteza (parametric hypothesis)**: Bu tilda belgilangan ma'lumotlarning bir qismini asoslashga oid gipotezalar qabul qilinadi. Masalan, bir to'g'ri taqsimotning o'rtacha qiymati haqida gipoteza qabul qilish uchun bir parametr haqidagi gipoteza ishlatiladi.

2. **Parametr haqida gipoteza (non-parametric hypothesis)**: Bu tilda ma'lumotlar shakl bilan bog'liq bo'lmagan va bir ma'lumotlarning boshqa ma'lumotlar bilan solishtirilishidan iborat gipotezalar qabul qilinadi. Masalan, ikki to'plamdagi o'rtacha farqni sinash uchun bir parametr haqidagi gipoteza ishlatiladi.

Statistik gipotezalar ikkita qismga bo'linadi:

1. **Null gipoteza (H0)**: Bu gipoteza odatda mavjud qarshilikning o'rniga qo'yiladi. Masalan, "burchaklar uchun ortiqcha masofaning yo'qolishi 0 gradusga teng" degan gipoteza H0 ga misol bo'lishi mumkin.

2. **Alternativ gipoteza (H1 or Ha)**: Bu gipoteza odatda sinov natijalaridan hosil bo'lgan isbatlar asosida qabul qilinadi. Masalan, "burchaklar uchun ortiqcha masofaning yo'qolishi 0 dan farqli" degan alternativ gipoteza Ha ga misol bo'lishi mumkin.

Statistik gipotezalarni tekshirish uchun ma'lumotlar to'plami (bir necha holatda ekanligi mumkin) sinov materiali sifatida ishlatiladi. Agar natijalar statistik an'anaviyliktan chiqsa, null gipoteza rad etiladi va alternativ gipoteza qabul qilinadi. Agar statistik natijalar juda an'anaviylik bilan mos kelmasa, null gipoteza rad etilmaydi.

Statistik gipotezalar, ilmiy tadqiqotlarda, marketingda, tijoratda va boshqa ko'plab sohalarida qaror qabul qilish va ma'lumotlarni tahlil qilish uchun keng qo'llaniladi.

Quvvat funksiyasi, statistikada aniqlanayotgan test natijalarining qanday ko'rinishda bo'lishi lozimligini belgilovchi bir qo'llanma hisoblanadi. Quvvat funksiyasi, qo'llanilayotgan t-test, F-test, chi-kvadrat testi va boshqa statistik sinovlar uchun mohiyatli parametrdir.

Quvvat funksiyasi, bir ma'lumotlar to'plamining haqiqiy parametrga oid isbotlanadigan gipotezalarni qabul qilish va rad etishni amalga oshirishda ishlatiladi. Bu funksiya statistik testining quvvatini oshirish uchun ma'lumotlar soni va statistik to'plamlarning teskari variancasiga qarab belgilanadi.

Quvvat funksiyasi odatda belgilangan bir nazorat qiymati (masalan, kritik qiymat) bilan solishtiriladi. Agar test natijalari kritik qiymatdan katta bo'lsa, null gipoteza rad etiladi. Aks holda, null gipoteza qabul qilinadi.

Quvvat funksiyasini hisoblashda statistik dasturlar va ilmiy hisob kitoblardan foydalaniladi. Ushbu funksiya sinovlar natijalarini tahlil qilish, statistik modellar va prediksiya olishda muhim ahamiyatga ega.

Quvvat funksiyasining to'liq formulasi va hisoblash usullari statistik metodlar, testlar va ma'lumotlar to'plamlari turlariga bog'liq bo'lgan sabablarga ko'ra o'zgaradi. Uning maqsadi esa statistik tahlil natijalarini isbotlash va qo'llab-quvvatlashda yordam berishdir.

Ko'p o'lchovli regressiya va ko'p o'lchovli korrelyatsiya koeffitsienti statistikada ma'lumotlarning o'zaro bog'lanishini aniqlash uchun muhim vositalardir.

1. **Ko'p o'lchovli regressiya (Multiple Linear Regression)**:
- Bu regressiya turi, bitta bog'liq o'zgaruvchan (muhim faktor) bilan birlashgan bir nechta mustaqil o'zgaruvchanlar orasidagi o'zaro bog'lanishni modellelash uchun ishlatiladi.
- Misol uchun, bir kasb-hunar kollejida talaba muvaffaqiyati (boshqa o'zgaruvchilar) o'rtacha ballariga (bog'liq o'zgaruvchan) ta'sir ko'rsatish uchun ko'p o'lchovli regressiya qo'llanilishi mumkin.

2. **Ko'p o'lchovli korrelyatsiya koeffitsienti (Multiple Correlation Coefficient)**:

Ko'p o'lchovli regressiya va ko'p o'lchovli korrelyatsiya koeffitsienti, ma'lumotlarni tahlil qilishda, prognostik modellar yaratishda, va ma'lumotlardan foydalanishda keng qo'llaniladi. Ular, ma'lumotlarning o'zaro bog'lanishini tushuntirish va boshqa maqsadlar uchun foydalaniladigan muhim statistik vositalardir.

Chiziqli bo'lmagan regressiya (Nonlinear regression) parametrlarini topish uchun EKKU (Eng ko'p ko'rsatiladigan xatolik) (Eng. Ordinary Least Squares method) statistik metodidan foydalaniladi. Bu usul, ma'lumotlar to'plamidagi ma'lumotlar va boshqa o'zgaruvchilar o'rtasidagi o'zaro bog'lanishni aniqlash uchun ishlatiladi. Chiziqli bo'lmagan regressiya, boshqa regressiya turlaridan farq qiladigan parametrlarni topishda yordam beradi, chunki u asosan o'zgaruvchilar o'rtasidagi to'g'ri bo'lmagan o'zgaruvchilarning mosligini ko'rsatadi.

EKKU metodi, ma'lumotlar to'plamidagi chiziqli bo'lmagan regressiya uchun mos keladigan parametrlarni aniqlashda ishlatiladi. Bu usul quyidagi bosqichlardan iborat:

1. **Model yaratish**: Chiziqli bo'lmagan regressiya uchun model yaratiladi. Bu model tezda mos mavzuga mos kelsin diqqat qaratiladi va u ma'lumotlar to'plamiga bog'liq funksiya shaklidagi parametrlarni o'z ichiga oladi.

2. **Mosligi topish**: EKKU usuli ma'lumotlar to'plamidagi o'zgaruvchilar va ma'lumotlar o'rtasidagi bog'lanishni qo'llab-quvvatlaydigan mos parametrlarni topish uchun yordam beradi. U holda mos mavzu yaratilishi va parametrlar ma'lum qilinishi uchun ma'lumotlar to'plami tomonidan bog'liq bo'lgan funksiya yordamida moslikni aniqlab olish uchun ishlatiladi.

3. **Yakuniy natijalarni hisoblash**: EKKU usuli yordamida topilgan moslik parametrlari mavzuga mos ravishda ma'lumotlar to'plamiga bog'liq funksiya parametrlarini aniqlashga yordam beradi. Natijada mos mavzu va moslik parametrlar aniqlangan bo'lsa, yakuniy model tuziladi va ta'tilat beriladi.

EKKU metodi chiziqli bo'lmagan regressiya parametrlarini topishda keng qo'llaniladi. U statistik analizda, ma'lumotlar to'plamlarining o'zgaruvchilar orasidagi o'zaro bog'lanishlarini aniqlash uchun juda foydali va ommalashtirilgan bir vosita hisoblanadi.