|
Egri chiziq egriligi va uni hisoblash
|
| bet | 4/6 | | Sana | 13.05.2024 | | Hajmi | 0,51 Mb. | | #230240 |
Bog'liq ANIQ INTEGRAL YORDAMIDA YOY UZUNLIGINI HISOBLASH.Egri chiziq egriligi va uni hisoblash
Bizga regulyar g –egri chiziq va unga tegishli nuqta berilgan bo‘lsin. Berilgan nuqtadagi egrilik tushunchasini kiritib, uni hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun g – egri chiziqda ga yaqin bo‘lgan nuqtani olib, bu nuqtalardan o‘tuvchi urinmalar orasidagi burchakni bilan, yoy uzunligini bilan belgilaylik. Ravshanki, nuqta ga intilganda Dj va miqdorlar nolga intiladi. Ammo ifoda nimaga intilishini oldindan ayta olmaymiz.
Ta’rif. CHiziqdagi nuqta ga intilganda ifodaning limiti mavjud bo‘lsa, u chiziqning nuqtadagi egriligi deb ataladi.
Teorema-12: Ikki marta differensiallanuvchi regulyar egri chiziq uchun mavjud. Agar chiziq tenglama bilan tabiiy parametr yordamida berilgan bo‘lsa, tenglik o‘rinlidir. Bu erda tabiiy parametrning ga mos keluvchi kiymatdir.
CHizma-10 CHizma-11
Isbot. Faraz qilaylik, egri chiziq tenglama bilan tabiiy parametr yordamida berilgan, , vektorlar mos ravishda va nuqtalarning radius vektorlari bo‘lsin. SHunda burchak va vektorlar orasidagi burchakka teng.
SHuning uchun . Bu tenglikdan,
kelib chiqadi. Bu tenglikda da limitga o‘tsak, ni hosil qilamiz.
Endi ixtiyoriy parametr uchun egrilikni hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun tenglikda ni ning funksiyasi sifatida qarab, ikkala tomonini bo‘yicha differensiallaylik. SHunda ni hosil qilamiz. Demak, .
Endi bu tenglikni bo‘yicha differensiallaymiz va
ni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini ga bo‘lib ni olamiz. Endi ikkala tomonini kvadratga oshirib,
tenglikni hosil qilamiz.
Bundan esa kelib chiqadi. ni hisobga olib va ko‘rinishda yozib ixtiyoriy parametr uchun egrilikni hisoblash formulasini olamiz.
Agar bo‘lsa, formula
ko‘rinishiga keladi. Agar egri chiziq funksiyani grafigi bo‘lsa, egrilik formulasi
ko‘rinishga keladi.
Endi, hamma nuqtalarida egriligi nolga teng bo‘ladigan chiziqlarni topaylik. Ikki marta differensiallanuvchi egri chiziq tabiiy parametr yordamida tenglama yordamida berilgan bo‘lsa, uning egriligi formula bo‘yicha hisoblanadi. Agar bo‘lsa, bo‘ladi. Demak, va bo‘lib, –o‘zgarmas vektorlardir. Demak, egri chiziqning hamma nuqtalarida egriligi nolga teng bo‘lsa, u yoki to‘g‘ri chiziq, yoki to‘g‘ri chiziqning ochiq kesmasidir. Albatta, bu tasdiqning teskarisi ham to‘g‘ridir (isbotlang).
|
| |
