Misal:
funksiyasının qradiyent metoduilə maksimumunu tapmalı. İterasiya prosesinin
nöqtəsindən başlamalı
Həlli:
nöqtəsində funksiyanın qradiyent təyin edirik.
nöqtəsini götürürük. Həmin nöqtədə
funksiyanın qradiyentini tapırıq.
Sıfır qradiyent alırıq. Deməli
nöqtəsi stasionar nöqtədir. Məqsəd
funksiyası qabarıqdır.
və
qabarıq
funksiyaların cəmidir).
Onda tapılan nöqtədə
Cavab:
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 23: Qrafalar nəzəriyyəsi
Boş olmayan
çoxluğu və
münasibətlər çoxluğu qraf adlanır.
( , ) ilə işarə
olunur. Əgər
çoxluğu sonludursa, onda qraf sonlu adlanır.
( , ) qrafı həndəsi nöqteyi nəzərdən sonları verilmiş nöqtələr çoxluğuna daxil
olan boş olmayan nöqtələr çoxluğunu (təpələri) və parçalar çoxluğunu (tillər) göstərir.
Qrafın heç bir tilində yerləşməyən təpələrə izoləedilmiş deyirlər.
Tillə birləşdirilmiş (əlaqələnmiş) təpələrə qonşu təpələr adlanır. əgər iki müxtəlif
til ümumi (ortaq təpəyə malikdirsə onda onlar qonşa tillər adlanırlar. Til və onun istənilən
təpəsi insindent adlanır.
( , ) qrafın başlanğıc və son təpələri üst – üstə düşərsə o ilgək
adlanır.
və
təpələrini birləşdirən tillərin sayına bərabər olan
elementlərindən
ibarət olan matrisə (
−ə) qonşuluq matrisi deyilir.
Əgər
təpəsi
tilinə insindentdirsə və əks halda sıfıra bərabərdirsə
elementləri 1 olur, bu elementlərdən təşkil olunmuş
− matrisinə insindent matris
deyilir.
Tilləri birləşdirən və ya hər bir təpə üçün qonşu təpələr çoxluğunun verilməsi üçn
qrafları təpələr (cütləri) kimi vermək olar.
Qrafaların xarakteristikası
Əgər iki müxtəlif təpə yalnız və yalnız bir tillə əlaqələndirilibsə onda G(X,T)
qapalı tam adlanır. Tam qrafalarda hər bir təpə bir til üzərində yerləşir, belə ki, o yerdə
qalan təpələrdə birləşdirilmişdir. Tam qrafı vermək üçün onun təpələrinin sayını bilmək
kifayətdir. Tam olmayan qrafları tamamlamaq olar, yenilənmiş tillərin əlavə olunması ilə
Tilə insindent, qrafın tillərinin sayına bərabər olan
ədədinə
( , ) qrafının
təpəsinin dərəcəsi deyilir. Əgər dərəcə cüt (tək) – dürsə - təpə cüt(tək) adlanır.
Teorem 1: Əgər sonlu G(X,T) (ilgəksiz) qrafı n təpə və m tilə malikdirsə, onda
= 2
Teorem 2: (İstənilən) Tək (sayda) təpəli qrafların sayı cütdür.
Teorem 3: İstənilən
( > 2) təpəli qrafda kiçik ölçüdə, iki eyni dərəcəli təpə
həmişə tapılır.
Teorem 4: Əgər
( > 2) təpəli qrafda dəqiqliklə iki təpə eyni dərəcəlidirsə onda
bu qrafda ya
“0” dərəcəli təpə ya da ( − 1) dərəcəli bir təpə həmişə tapılır.
Qrafda yol və tsikl
− dən − a yol qrafın elə tillər ardıcıllığıdır ki, aparıcı və − dur, hansı ki,
iki qonşu til ortaq təpəyə malikdir və heç bir tillər iki dəfə görüşmür. Yolun uzunluğu bu
yolun tillərinin sayı adlanır.
− dən
− yol əgər bi təpədən bir dəfədən artıq
keçmirsə o sadə adlanır.
downloaded from KitabYurdu.org
Tsikl – elə yol adlanır ki, başlanğıc və son təpələr üst – üstə düşür. Tsikldə olan
tillərin sayına onun uzunluğu deyilir. Əgər bir təpədən bir dəfədən artıq olmayaraq
keçərsə, onda o sadə tsikl adlanır.
Teorem 5: Əgər
( , ) qrafında bütün sadə tsikllər cüt uzunluğa malikdirsə, onda
qraf heç bir tək uzunluğa malik tskli yoxdur.
Qrafın əlaqəsi, ağaclar
Qrafın iki təpəsi əlaqəlidir, əgər qrafda sonları bu təpələrdə olan yol mövcuddursa,
əks halda əlaqəli deyil. Əgər ixtiyari iki təpə əlaqəlidirsə, onda qraf əlaqəlidir, əks halda
əlaqəli deyil.
Teorem 6:
( , ) qrafı yalnız və yalnız o vaxt sadə tsikldir ki, onun hər bir
təpəsinin qüvvəti 2 – yə bərabərdir.
( , ) − də ( , ) tili körpü adlanır o vaxt ki, bu tildə ləğv etdikdə və
təpələri əlaqəli deyil.
Əlaqəli və tsiklsiz qraf ağac adlanır. Dərəcəsi 1 - ə malik olan təpə.....................
adlanır.
Müstəvi qraflar
( , ) − müstəvi qraf adlanır o vaxt ki, onu müstəvi üzərində elə təsvir etmək
olsun ki, onun heç bir iki tili orta nöqtəyə malik olmasın, yalnız onların ümumi təpəsindən
başqa. Heç bir iki kəsişməyən qrafın sxemi qrafın müstəvi görüşü adlanır.
Müstəvi görünüşü yalnız müstəvi olur və tərsinə.
( , ) qrafının müstəvi görünüşünün üzü müstəvisinin elə hissəsidir ki, digər
tsiklləri saxlamayan sadə tsikllərlə məhdudlaşan.
Müstəvinin qrafın müstəvi görünüşünün (şəklində verilməsinin) kənarında yerləşən
(hissəsinə) və sadə tsikllərlə məhdudlaşan hissəsinə sonsuz üz adlanır.
İki üz heç olmazsa bir ümumi bilə malikdirsə onlara qonşu üzlər deyilir. İki tsikli
birləşdirən çəpərə körpü deyilir.
Ağacın müstəvi şəklində verilməsində üz olaraq sxemin bütün müstəvisi qəbul
edilir.
Çəpərsiz müstəvi qrafın təpələrinin sayı n, tillərinin sayı m üzlərinin sayı (sonsuz g
– ni nəzərə almaqla)
− + = 2
Münasibətlə əlaqəlidirlər, hansı ki, Eyler düsturu adlanır.
( , ) müstəvi qrafı müksimal müstəvi adlanır, əgər ona heç bir til əlavə etmək
mümkün deyil, necə ki, alınan qraf müstəvi qraf olsun.
Yeni tillər əlavə etmək əməliyyatı, nəticəsində hansı ki, qrafın müstəvi şəklində
verilməsində hər bir üz üç təpəyə malikdir, hansı ki, bütün tillər – düzxətli parçalardır.
Eyler qrafları
Qrafın bütün tillərini özündə saxlayan və hər birindən bir dəfə keçən yola Eyler
yolu deyilir. Qrafda Eyler tsikli qrafın bütün tillərini saxlayan və hər birindən bir dəfə
keçən tsiklə deyilir. Eyler tsikllərindən ibarət olan qraf Eyler qrafı adlanır.
downloaded from KitabYurdu.org
Teorem 8: Eyler qrafı əlaqəlidir (şəbəkədir) və bütün təpələri cütdür.
Teorem 9: Əgər
( , ) qrafı şəbəkədirsə və bütün təpələri cütsə. Onda o Eyler
tsikl təşkil edir.
Teorem 10: Əgər
( , ) qrafı və sonluqlarından ibarət Eyler yoldursa, onda
( , ) şəbəkədir və və yeganə tək təpələrdir.
Teorem 11: Əgər
( , ) şəbəkə və yeganə tək təpələrsə, onda qraf və
sonları olan Eyler yoludur.
Teorem 12: Əgər
( , )şəbəkədirsə onda elə tsiklik marşrut qurmaq olar ki,
bütün tilləri iki dəfə saxlasın və hər bir istiqamətə görə bir dəfə.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 24: İqtisadiyyatın makromodelləri
Kipernetik yanaşma baxımından makroiqtisadi sistem dedikdə bütövlükdə xalq
təsərrüfatı başa düşülür. Mürəkkəb, dinamik, stoxastik xarakterli makroiqtisadiyyatın
optimal idarə edilməsi bu sistemin ayrı – ayrı alt sistemləri səviyyəsində tarazlıq
əlaqələrinin yaradılması və dayanıqlığın təmin edilməsi yolu ilə təmin edilir.
Makroiqtisadiyyat səviyyəsində optimal idarəetmə strategiyaları qurmaq üçün makro
modellərdən istifadə edilir.
Ən çox istifadə edilən makromodellərə misal olaraq “məsrəf – buraxılış” tipli
Leontyev modelini, Fon – Neyman modelini (genişlənən iqtisadiyyat modeli), Solov,
Evans, Xarrod – Damar modellərini və s. göstərmək olar.
Makromodellərin qurulması və həlli problemlərini Leontyev makromodellərini
timsalında izləyək. Leontyev makromodellərinin köməyi ilə bütövlükdə makroiqtisadi
sistemdə, həm də onun ayrı – ayrı sahələrində məhsul istehsalı və bölüşdürülməsi, son
məhsulun quruluşu, milli gəlirin yaranması, bölgüsü və son bölgüsü, müxtəlif təyinatlı
axınları (material axınları, əmək ehtiyatları axınları, investisiya axınları və s.) sahələrarası
hərəkəti və s. kimi makroiqtisadi proseslər və göstəricilər arasında olan tarazlıq əlaqələri
kəmiyyət baxımından təhlil edilir.
Leontyev makromodellərinin qurulmasına keçməzdən əvvəl makroiqtisadi
sistemlə bağlı bəzi ilkin şərtləriqəbul edək. Fərz edəcəyik ki, makroiqtisadiyyatı
formalaşdıran sahələr xalis sahələrdir. Yəni sahə yalnız bir növ məhsul istehsal edir və
qalan sahələrin heç biri bu məhsulu istehsal etmir. Biz gələcəkdə bu maddi istehsal
sahələrinə makroiqtisadi sistemin funksional alt sistemləri kimi baxacağıq.
Leontyev modellərinin tərtib edilməsinin metodoloji əsasını makroiqtisadiyyatın
ayrı – ayrı funksional bloklarının qarşılıqlı əlaqələrini əks etdirən aşağıdakı informasiya
sxemi təşkil edir (bəzi ədəbiyyatlarda bu sxemə sahələrarası balans sxemi deyilir).
downloaded from KitabYurdu.org
İstehlak edən
funksional
İstehsal edən bloklar
funksional bloklar
1 2 ... j ... n
Son məhsul
Məcmu məhsul
1
2
...
...
…
…
…
…
................. (1) ...................
…
…
.........................................
…
…
(2)------
---
---
---
əℎ
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
Ə ə
ö ə ş
ə
… …
(3)
… …
(4)
---
Məcmu məhsul
… …
----
X
Göründüyü kimi informasiya sxeminin əsasını makroiqtisadiyyatın bütün
bloklarının çoxluğu təşkil edir. Sxemdə bu blokların sayı
− ə bərabərdir. Hər bir blok
sxemdə iki dəfə əks etdirilmişdir:
–
Istehsal edən blok kimi
–
Istehlak edən blok kimi
Hər bir bloka istehsalçı baxımından sxemin müəyyən sətiri, istehlakçı baxımından
isə müəyyən sütunu uyğun gəlir. Onda aydındır ki, sxemin
– ci sətiri ilə – cu sütununun
kəsişməsində yerləşən
elementi
nömrəli blok tərəfindən istehsal edilən və nömrəli
blokda material məsrəfi şəklində istehlak edilən məhsulun miqdarını göstərəcəkdir.
Sxemin sütunlarında hər bir funksional blokun material məsrəflərinin və xalis
məhsulunun sturukturu əks etdirilir. Onda aydındır ki, sxemin hər bir sütun elementlərinin
cəmi həmin blokun məcmu məhsuluna bərabər olacaqdır. Məsələn, 1 – ci sütun üçün
alarıq.
=
+
+ … +
+
+
material məsrəfləri xalis məhsul
və ya ümumi şəkildə
=
+ +
( = 1, ) (1)
Göründüyü kimi (1) sistemi
sayda xətti tənliklərdən ibarətdir, və bu sistemi
quruluş tənliklər sistemi adlandırmaq olar.
downloaded from KitabYurdu.org
Sxemin sətirlərində isə hər bir blokun məcmu məhsulunun istifadə istiqamətləri
üzrə bölgüsü əks etdirilir. Onda aydındır ki, sxemin hər bir sətir element məhsulunu
verəcəkdir. Məsələn, birinci sətir üçün alırıq:
=
+
+ … +
+
Istehsal sferasında istehsal sferasını
qalan məhsul tərk edən məhsul
və ya ümumi şəkildə
=
+ ( = 1, ) (2)
(2) sistemi də n sayda xətti tənliklərdən ibarətdir və bu sistemi bölüşdürmə
tənlikləri sistemi də adlandıra bilərik.
Sxemin xarakterik xüsusiyyətlərindən biri odur ki, bu sistemdə müstəqil məzmuna
malik olan dörd bölməni ayırmaq olar:
I.
Bölmənin elementləri istehsal vasitələrinin bloklar arası axınlarını əks etdirir.
II.
Bölmənin elementləri makroiqtisadi sistemdə yaradılmış son məhsulun
sturukturunu əks etdirir.
III.
Bölmənin elementləri də milli gəliri əks etdirir. Lakin ikinci bölmədən fərqli
olaraq burada milli gəlirin dəyər tərkibi açıqlanır.
IV.
Sxemin bu bölməsi isə milli gəlirin son bölməsini və isteehsalını əks etdirir.
downloaded from KitabYurdu.org
Mövzu 25: İqtisadiyyatın mikromodelləri
Kibernetik yanaşma baxımından mikro sistemlər dedikdə ayrı – ayrı müəssisələr,
firmalar, istehsal bölmələri və s. başa düşülür. Mikro sistemlər səviyyəsində optimal
idarəetmə strategiyaları qurmaq üçün istifadə edilən iqtisadi – riyazi modellərrə
mikromodelər (və ya müəssisə, firma modelləri) deyilir. Müəssisə qurulması qarşısına
bütünlüklə modellərin qarşısına qoyulan real iqtisadi sistemə kafi adekvatlıq və riyazi
aparatın kafi sadəliyi tələbləri qoyulur. Tipik müəssisə modellərinə misal olaraq aşağıdakı
modelləri göstərmək olar:
–
Müəssisələrin optimal istehsal güclərinin təyin edilməsi modeli;
–
Müəssisələrdə avadanlıqların optimal yüklənməsi modeli;
–
Müəssisələrdə qarışıqların və birləşmələrin optimal tərkibinin müəyyən
edilməsi modeli;
–
Müəssisələrdə materialların optimal biqilməsi modeli;
–
Müəssisələrdə işçilərin işlərə optimal təyin edilməsi modeli;
–
Müəssisələrdə detalların optimal istehsaal və saxlanma rejiminin tapılmassı
modeli;
–
Aqrar firmalarda əkin sahələrinin optimal bölüşdürülməsi modeli;
–
Müəssisədə (firmada) daxili yük daşımalarının
optimallaşdırılması modeli və s.
1)
Müəssisələrdə optimal istehsal güclərinin təyin edilməsi məsələsinin
qoyuluşu.
Məsələnin qoyuluşu belədir:
Fərz edək ki, müəssisədə
sayda məhdud ehtiyatdan istifadə etməklə
adda
məhsul istehsal edilir. Ehtiyaların məhdudluğu
= ( , , … , ) vektoru ilə təyin edilir.
Məhsul vahidinə ehtiyat sərfi normaları
=
,
texnoloji matrislə verilir. Burada
− nömrəli məhsul vahidi istehsalına − ci ehtiyatın sərf olunması normasıdır.
Məhsul vahidlərinin maya dəyəri
= ( , , … , ) vektoru ilə müəyyən edilir. Məhsul
vahidlərinin gözlənilən bazar qiymətləri vektoru isə
= ( , , … , ) şəklindədir.
Onda müəssisənin optimal istehsal gücünün müəyyən edilməsi məsələsi elə
= ( , , … , ) istehsal proqramının tapılmasına gətirilir ki, bu proqrama görə onun
əldə edəcəyi məcmu mənfəət maksimum olsun. Məsələnin iqtisadi – riyazi modelini tərtib
edək:
( ) =
( − ) →
(1)
≤
= 1,
(2)
≥ 0 = 1, (3)
downloaded from KitabYurdu.org
Göründüyü kimibaxılan məsələnin iqtisadi – riyazi modeli xətti
proqramlaşdırmanın əsas məsələsinə gətirildi. Bu müəssisənin optimal həlli olan
∗
vektoru maksimum mənfəət baxımından müəssisənin optimal istehsal gücünü müəyyən
etməyə imkan verir.
Məsələ 1: Fərz edək ki, müəsssisənin istehsal gücü 3 növ məhsul istehsaalını
nəzərdə tutur. Bu məqsədlə 4 növ məhdud ethiyatdan istifadə edilir. Ehtiyatların həcmlərri
= (100, 120, 200, 400) vektoru ilə müəyyən edilir.
Məhsul vahidləi istehsalına ehtiyat sərfi normaları aşağıdakı matris şəklində
verilmişdir:
=
3 8 5
4 2 6
5 7 9
1 10 3
Məhsul vahidlərinin maya dəyərləri vektoru və məhsul vahidinin gözlənilən bazar
qiymətləri vektoru aşağıdakı şəkildə veilmişdir:
= (40, 60, 70)
= (90, 100, 100)
Maksimum mənfəət kriteriyasına görə müəssisənin optimal istehsal gücünün təyin
edilməsi məsələsinin iqtisadi – riyazi modelini qurun.
Həlli:
Müəssisənin istehsal edəcəyi
1 − ci növ məhsulun miqdarını
,
2 − ci növ
məhsulun miqdarını
,
3 − cü növ məhsulun miqdarını isə ilə işarə edək. Onda 1 − ci
məhsulun
1 vahidinin şatışından
= 90 − 40 = 50 manat, 2 − cidən
= 100 −
60 = 40 manat, 3 − cüdən
= 100 − 70 = 30 manat mənfəət alınacaqdır. Ehtiyatların
həcmləri məhdud olduğu üçün
qədər
1 − ci məhsul,
qədər
2 − ci məhsul, qədər
3 − cü məhdul istehsal etmək üçün sərf ediləcək. 1 − ci ehtiyatın həcmi 100 vahiddən,
2 − ci ehtiyatın həcmi 120 vahiddən, 3 − cü ehtiyatın həcmi 200 vahiddən, 4 − cü
ehtiyatın həcmi isə 400 vahiddən çox ola bilməz. Onda alaqı
( ) = 50 + 40 + 30 → max
5 + 8 + 5 ≤ 100
4 + 2 + 6 ≤ 120
5 + 7 + 9 ≤ 200
+ 10 + 3 ≤ 400
≥ 0,
≥ 0,
≥ 0
Göründüyü kimi məsələnin iqtisadi – riyazi modeli xətti optimallaşdırma modelidir
və onu Simlpeks metodla həll etmək olar.
Qeyd 1: Nəzərdən keçirdiyimiz məsələdə optimallıq kriteriyası kimi məcmum
gəlirin maksimumlaşdırılması kriteriyasından da istifadə etmək olar, yəni
( ) = 90 + 100 + 100 → max
downloaded from KitabYurdu.org
Qeyd 2: Maksimum mənfəət kriteriyası ilə maksimum gəlir kriteriyası arasında
iqtisadi baxımdan ziddiyyət olmadığı üçün hər iki optimallıq kriteriyası üçün tapılmış
istehsal proqramı variantı üst – üstə düşəcəkdir.
Cavab:
( ) = 50 + 40 + 30 → max
5 + 8 + 5 ≤ 100
4 + 2 + 6 ≤ 120
5 + 7 + 9 ≤ 200
+ 10 + 3 ≤ 400
≥ 0,
≥ 0,
≥ 0
downloaded from KitabYurdu.org
| 