Takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar.
Umumiyroq ma- salani ko‘rib chiqaylik: m elementli X to'plamdan nechta tartib- langan к elementli to'plamlar tuzish mumkin?
Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tartiblash к elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni
m(m - l)(m - 2) • ... •(m к + 1)
ko'paytmaga teng. U Л* bilan belgilanadi va m elementdan к tadan takrorlanmaydigan о ‘rinlashtirishlar soni deb ataladi:
Akm = m( m l ). . .( m ~ k + 1) =
Д»' = Pm= m'> 0 ! = 1 deb qabul qilinadi.
Masalan, sinfdagi 20 o'quvchidan tozalik va davomat uchun javob beruvchi 2 o'quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
Л2о=т1!oг7! = 20-19 = 380 (usul bilan).
3 . 7 . Takrorlanmaydigan guruhlashlar. «m elementli X to'plam-
ning nechta к elementli qism to'plamlari bor?» — degan masalani hal qilaylik.
Masalan, 4 elementli A = {a; b; c; d} to'plamning nechta 3 elementli qism to'plami borligini ko'raylik. Ular {a; b; c},
{a\ b\ d}, {a\ c; d}, {b; c; d). Demak, 4 ta shunday qism to'plam bor ekan. Bunday qism to'plamlar takrorlanmaydigan guruhlashlar deb ataladi. Bu qism to'plamlarni tartiblaganda 6 barobar ko'proq 3 o'rinli kortejlarga ega bo'lamiz.
Masalan, {a\ b; c} ni tartiblasak: (a; b; c), (a; c; b), {b\ a; c),
{b\ c; a), (c; a; b), (c; b\ a) tartiblangan uchliklarga ega bo'lamiz, tartiblanishlar soni 3! = 6 marta ko'p. Bu bogianishdan foyda- lanib, guruhlashlar sonini topish formulasini keltirib chiqarish mumkin.
m elementli to'plamning к elementli qism to'plamlari soni C* bilan belgilanadi va m elementdan к tadan takrorlanmaydigan guruhlashlar soni deyiladi. (C — fransuzcha combinaison — «bi- rikma» so'zidan olingan.) Takrorlanmaydigan guruhlashlar soni uchun
Ak = C k P => C k = — m‘ * pm ( mk)'. k !
M a s a l a .
Sinfdagi 20 o'quvchidan ko'rikda ishtirok etish uchun uch o'quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
Y e c h i s h . Ko‘rik ishtirokchilarining tartibi ahamiyatga ega bo'lmagani uchun 20 elementli to'plamning 3 elementli qism to'plamlari soni nechtaligini topamiz:
!Т7Г'Т Г з 3 iy 2U“ 4U
С3 — 32 0 ! — 1 8 1 9 20 — i 9 2 0 — i i 4 0
Javob: 3 o'quvchini 1140 usul bilan tanlash mumkin ekan.
С* ko'rinishdagi sonlarning xossalari.
| ° _ s-'m-k оО ^к _ s~*k-\ . r^k oo _ *
* • '■'m m • z • W i “ ^ m1 “r ^ wl ■ J • 4 i " 4 i
xossani isbot qilish uchun C* = , formuladan foyda-
, . k'.( mk)\
lanamiz:
/mi _ w! _ w! _ m! _/*
m ( m -* )!( m -( m -* ))! (m-* )!(/» -от +*)! (w -A :)!*! m‘
Xossaga ko'ra, C230 = C^; C52 = C53va h. k.
xossaning i s b o t i .
Ck~l+ ck (от-l)! , (" 1- 1)! _
ml m-1 (A:l)!(ml)(A:l)! А:!(/и1А:)!
_ (wj- 1)! (m -l)! _ (/n-l)!A:
(Jt-l)!(m -*)! * !(m-Jfc-l)! (Ar-l)!Jt(m-*)
(ml)'.(mk)
|
_ (m\)\k
|
(ml)'.(mk) _
|
k\(mk\)\( mk)
|
kl(mk)
|
k\{mk)\
|
_ ( m\ ) \ k + ( m\ ) \ ( mk ) _ ( m\)\( k + mk ) _ k \ ( mk ) \ k \ ( mk )
_ {m\)\m _ m! _ r ,k
~ k \ ( mk ) \ ~ k \ ( mk ) \ ~ m
2°-va 3°-xossalardan foydalanib, C* ko'rinishdagi sonlarning qiymatini ketma-ket hisoblash mumkin.
3°-xossaga ko'ra C$ = С ,0=C/ =C2° =C 2 = 1. Bundan 2° ga ko'ra Cj =C,°+C 1= 1 + 1= 2.
C* ko'rinishdagi sonlarni Paskal uchburchagi ko'rinishida joylashtirish mumkin:
|
