L{f1(t)+ f2(t)}= F1(p)+ F2(p),
L{kf(t)}=kF(p).
Originalni differensiallash va integrallash xossasi.
L{f(n)(t)}=pnF1(p)- n-1f(i-1)(0),
L{f(-n)(t)}= + ,
bu yerda f(-n) = ⌠…⌠f(t)(dt)n
Laplas teskari almashtirishi.
f(t)=L-1{F(p)}=
bu yerda L-1 - Laplas teskari almashtirishi.
f(t) ning originali
|
F(p) ning tasviri
|
f(t) ning originali
|
F(p) ning tasviri
|
l(t)
|
|
coswt
|
|
t
|
|
tn-1
|
|
tn
|
|
|
|
e-wt
|
|
chwt
|
|
te-wt
|
|
e-wt sinwt
|
|
sinwt
|
|
e-wt coswt
|
|
Differensial yoki integral tenglamalami operatsion hisoblash yordamida yechishdan maqsad - algoritmi moddiy o‘zgaruvchi funksiyani
kompleks o‘zgaruvchili funksiyaga almashtirish, kompleks o‘zgaruvchili
sohada yechimlami izlash va nihoyat teskari, ya’ni topilgan yechimni kompleks o‘zgaruvchili sohadan moddiy o‘zgaruvchili sohaga almashtirishdan iborat. Amalda ishni osonlashtirish maqsadida har safar Laplas almashtirish operatsiyasini bajarmay, ko‘p uchraydigan funksiyalaming tasvir va originallari hisoblangan jadvaldan foydalanish ancha qulay (1-jadvaI).
Keltirilgan jadvaldan teskari tartibda, ya’ni ma’lum F(p) tasvir bo‘yicha tegishli f ( t ) originalni topish uchun foydalanish ham mumkin.
Uzatish funksiyasi
ABTlami kirish va chiqish kattalikiari orasida o‘zaro o‘rnatilgan aloqasini quyidagi differensial tenglama ko‘rinishida ifodalash mumkin:
a0 a1 + … + any(t) =
= b0 + b1 + … + bmx(t) + c0f(t) , (1.1)
Bu yerda x(t), f ( t ) - elementning kirish kattaliklari;
y(t) – elementning chiqish kattaligi;
ai, bi - tenglamaning koeffitsiyentlari.
Yuqoridagi tenglamani operator formada yozishimiz mumkin. Ushbu formada yozish uchun differensiyallash operatsiyasini o‘miga qisqartirilgan shartli belgilash kiritamiz: = p. Mos ravishda k-chi tartibli hosila = belgilanadi.
Unda (1.1) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozishimiz mumkin:
a0 pn y(t) + a1 pn-1 y(t) + … + an y(t) =
= b0 pm x(t) + b1 pm-1 x(t) + … + bm x(t) + c0 f(t) (1.2)
yoki
( a0 pn + a1 pn-1 + … + an ) y(t) =
= (b0 pm + b1 pm-1 + … + bm )x(t) + c0 f(t) (1.3)
(1.3) tenglamani quyidagicha belgilashmiz mumkin:
D(p) = a0 pn + a1 pn-1 + … + an (1.4)
(1.4) tenglama chiqish kattaligining differensiallash operatori xususiy yoki xarakteristik operator deb nomlanadi. Elementning xususiy harakati, ya’ni tashqi ta’sirlar bo‘lmagandagi harakati ko‘phadni tavsiflagani uchun uni shartli nomlanadi.
K1 (p) = b0 pm + b1 pm-1 + … + bm , K2 (p) = c0 (1.5)
(1.5) tenglama kirish kattaligining differensiallash operatorlari kirish, g‘alayon operatorlari deb nomlanadi.
Unda (1.3) tenglama quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
D ( p ) y ( t ) = K1( p )x ( t ) + K2( p ) f ( t ). (1.6)
Differensial tenglamani boshqacha tatbiq qilingan formada yozish Laplas almashtirishini qo‘llashga asoslangan. Differensial tenglamaga Laplas almashtirishini qo‘llashda tashqi ta’sir bo‘lgunga qadar tizim tinch holatda deb hisoblanadi va barcha boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘ladi.
( a0 pn + a1 pn-1 + … + an ) y(p) = (b0 pm + b1 pm-1 + … + bm )x(p)
Uzatish funksiyasi W(p) deb - boshlang‘ich shartlari nol bo‘lganida chiqish signalining Laplas tasvirini kirish signalining Laplas tasviri signali nisbatiga aytiladi.
W ( p ) = t=0 = (1.7)
yoki
W ( p ) = ,
bu yerda = b0 pm + b1 pm-1 + … + bm - m darajali ko`phad;
D ( p ) = a0 pn + a1 pn-1 + … + an - n darajali ko`phad.
Odatdagi differensial tenglamalar bilan yoziluvchi real elementlar uchun (1.7) tenglama suratidagi ko‘phad darajasi maxrajidagi ko'phad darajasidan kichik yoki teng bo‘Iishi kerak, ya’ni m shart bajarilishi kerak. Uzatish funksiyasining barcha koeffitsiyentlari – element parametrlarini tavsiflovchi haqiqiy sonlardir.
Tartibi yuqori bo‘lmagan (n<3) uzatish funksiyasi bilan yoziluvchi elementlar uchun standart formada uzatish funksiyasini yozish qabul qilingan. Shuning uchun uzatish funksiyasi shunday yoziladiki, maxrajining erkin hadlari an birga teng bo‘lsin. Suratining erkin hadlari bm uzatish koeffitsiyentiga teng bo‘ladi va uni qovusdan tashqariga chiqaziladi.
W ( p ) = , bu yerda k = .
Uzatish funksiyasi bir necha kompleks o‘zgaruvchi p = α ± β funksiya hisoblanadi. O‘zgaruvchi p ning qiymatlari uzatish funksiyasi nolga aylansa, nollari deyiladi, cheksizga aylansa uzatish funksiyasining qutblari deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, uzatish funksiyasining sur’at ildizlari uzatish funksiyasining nollari, maxraj ildizlari esa uzatish funksiyasining qutblari deyiladi.
(1.7) tenglamaga muvofiq zveno yoki tizimning chiqish signalini quyidagicha yozish mumkin:
y ( p ) = W ( p ) – x ( p ). (1.8)
Endi zveno yoki tizimning uzatish W(p) funksiyasi bilan o‘tkinchi funksiyasi h(t) hamda impulsli o‘tkinchi funksiyasi w(t) orasidagi bog'lanishni ko‘rib chiqamiz
Agar kirish signali x(t) = 1(t) bo‘lsa, unda uning Laplas tasviri
x ( t ) = bo`ladi. (1.8) formulaga muvofiq chiqish signalining Laplas tasviri y( p ) =W( p ) ga teng bo‘ladi. Bundan originalga o‘tsak
y( t ) = h( t ) = L-1 bo`ladi.
Demak, o`tkinchi funksiya h( t ) bilan uzatish funksiyasi W( p ) bir ma`noli bog`langan ekan.
Agar x(t) = δ(t) bo‘lsa, unda x(p) = 1 bo‘ladi. (1.8) formulaga muvofiq chiqish signalining Laplas tasviri y(p) = W(p) bo‘lib, uning originali impulsi o‘tkinchi funksiyasi bo‘ladi, ya’ni
y( t ) = w( t ) = L-1{ W( p )}.
Demak, impulsii o‘tkinchi funksiya w(t) uzatish funksiyasining originali ekan. Endi uzatish funksiyasining mohiyatini aniq misolda ko‘rib chiqamiz:
1-misol. RC zanjiri berilgan bo‘lsin (2-rasm). Ushbu zanjirining uzatish funksiyasi W( р ) ni toping.?
Yechish:
Uk (p) = R + ; Uch (p) = ;
W (p) = = = =
bu yerda, T = RC -- vaqt doimiyligi.
2 -misol. RC zanjiri beriigan bo‘lsin. Ushbu zanjiming uzatish funksiyasi W(p)ni toping.?
Yechish:
Uk (p) = + R; Uch (p) = R ;
W (p) = = = = ,
bu yerda, T = RC -- vaqt doimiyligi.
Laplas almashtirishi — haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyani (shu jumladan vaqt funksiyasi) kompleks o‘zgaruvchili funksiyaga o‘zgartirish.
Uzatish funksiyasi — boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lganida chiqish signalining Laplas tasvirini kirish signalining Laplas tasviri signali nisbatiga aytiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI.
Sevinov J.U. Avtomatik boshqarish nazariyasi. 0 ‘quv qo‘Hanma. Т.: ≪Fan va texnologiya≫ 2017
Yusupbekov N.R., Muxamedov B.E., G‘ulomov Sh.M. Texnologik jarayonlarni boshqarish tizimlari.Toshkent, O‘qituvchi: 1997
Miraxmedov D.A. Avtomatik boshqarish nazariyasi Oliy o‘quv
yurtlari uchun darslik. -Т.: O‘zbekiston
Texnologik jarayonlarni avtomatlashtirish asosiari: O‘quv qo‘llanma.Yusupbekov N.R Igamberdiyev.Y Malikov A.V. Toshkent: ToshDTU, 2007.
|
