n
n
n
n
n
n
i
n n
n
n
i
i
i
x x x
x
n
n x x x x
n x x x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
=
=
Π −
≥ Π
=
=
− −
− −
yoki
1
1
2
1
2
1 2
1
2
(1
)(1
)...(1
)(
....
)
... (1
...
)
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
n x x x
x
x
x
+
−
−
−
+
+
+
≥
− −
−
tengsizlikni hosil qilamiz.
59.
Umumiylikni chegaralamasdan 0
1
a b c
≤ ≤ ≤ ≤
deb olamiz. U holda
(1
)(1
) 0
a
b
−
− ≥
yoki
1 2
a b c a b
ab
+ + ≤ + + ≤ +
<2(1+ab) ekanligini topamiz.
Bundan,
2(
1)
2
1
1
1
1
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a b c
ab
bc
ac
ab
ab
ab
ab
ab
ab
+ +
+
+
+
≤
+
+
=
<
=
+
+
+
+
+
+
+
+
munosabatni hosil qilamiz.
44
60.
(
1)
(
1) 0
a b
b a
a c
ab ac b a
a
b c
+
− +
− ≥ ⇔
+
≥ + ⇔
≤
+
va
(
1)
(
1) 0
d c
d c
c a
dc ca d c
c
d a
+
− +
− ≥ ⇔
+
≥ + ⇔
≤
+
ekanligi rashan. Bundan
4(
)
4(
)
(
)
4
a c
a c
a b
d c
a c
b d
b c
d a
+
+
+
+
≥
= + ≥
+
+
+
+
munosabat o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
61.
O’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini
quyidagi usulda qo’llab
1
2
1
(
)(
)
a
a
t
a t
b c ta
a b c
a at b c ta
+
+
=
≥
+ −
+ +
+
+ −
tengsizlikni
topamiz. Xuddi shunday
2 1
b
b
t
a c tb
a b c
+
≥
+ −
+ +
,
2 1
c
c
t
a b tc
a b c
+
≥
+ −
+ +
tengsizliklar o’rinli. Bu tengsizliklarni hadma-had qo’shib, isboti talab etilgan
tengsizlikni hosil qilamiz.
62.
2
2
2
(
1
)
(
1
)
(
1
)
0
ab
c
bc
a
ac
b
+ −
+
+ −
+
+ −
≥
ekanligidan, yuqoridagi
tengsizlikni o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
63.
2
1
1
i
i
y
x
=
+
(i 1, 2, ,2002
=
…
) deb belgilash kiritsak, u holda y
1
+y
2
+…+y
-2002
=1
bo’ladi. O’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini
quyidagi usulda qo’llasak,
1 2
2002
2001
1
2
2002
...
1-
2001
i
i
i
y y
y
y
y
y
y
y
y
= +
+…+
− ≥
(
1, 2, 2002
i
=
…
)
ekanligini topamiz va bu tengsizliklarni hadma-had ko’paytirib
2002
2002
2002
1 2
2002
2001
1 2
2002
1
1
...
(1
)
2001
2001
...
,
i
i
i
i
y y
y
y
y y
y
y
=
=
−
≥
=
∏
∏
2002
2002
1
1
2001
i
i
i
y
y
=
−
≥
∏
45
yoki
2002
1001
1
2001
i
i
x
=
≥
∏
tengsizlikni hosil qilamiz.
64.
Musbat x, y, z va
ν
sonlar uchun
2
2
2
(
)
x
z
x z
y
v
y v
+
+
≥
+
tengsizlik o’rinli
ekanligidan foydalansak
2
2
2
2
2
1
1
1
(1 1)
1
(1 1 1)
1
1
1
1
1
1
3
9
3
3
2
ab
bc
ac
ab
bc
ac
ab bc ca
a
b
c
+
+ +
+
+
≥
+
≥
≥
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
≥
=
+
+
+
.
65.
Tengsizlikni chap tomonini
T
bilan belgilab, o’rta arifmetik va o’rta geometrik
miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini qo’llasak, u holda
2
1
4
ax
by
cz
x ac
y ac
z ac
T
a
b
c
ac
ac
ac
ax
x ac
by
y ac
cz
z ac
a
b
c
ac
ac
ac
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
+
+
+
≤
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
≤
+
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
tengsizlik hosil bo’ladi. Ushbu tengsizliklar o’rinli ekanligidan
a
ac
a c
x
x
a
ac
ac
⎛
⎞
+
+
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
,
b
ac
a c
y
y
b
ac
ac
⎛
⎞
+
+
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
,
c
ac
a c
z
z
c
ac
ac
⎛
⎞
+
+
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
.
bu tengsizliklarni hadma-had qo’shib
(
)
(
) (
)
2
2
2
1
4
4
a c
a c
S
x y z
x y z
ac
ac
+
+
⎛
⎞
≤
+ +
=
+ +
⎜
⎟
⎝
⎠
munosabatni hosil qilamiz.
46
66.
x>0, y>0
1
1 1
1
4
x y
x
y
⎛
⎞
≤
+
⎜
⎟
+
⎝
⎠
tengsizlik o’rinli va bu tengsizlikni qo’llab,
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
2
2
2
4
4
1
1
1
1
1
4
4(
)
4(
)
4(
)
1
(
)
4
ab
bc
ac
ab
bc
a b
c b c
a
a c
b
a c b c
a c b a
ac
ab bc
ab ac
ac bc
a b b c
a c
b c
a b
a b c
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
≤
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
+
+
=
+
+
+
+
+
=
⎜
⎟
+
+
+
+
+
⎝
⎠
=
+ +
munosabatni hosil qilamiz.
67.
Musbat x, y sonlar uchun
4
4
3
3
2
x
y
x y
x
y
+
+
≥
+
(*) tengsizlik o’rinli. Chunki
4
4
3
3
4
4
3
3
2
2
2
2(
) (
)(
)
(
) (
) 0
x
y
x y x
y
x
y
x y y x
x y
x
xy y
+
≥
+
+
⇔
+
≥
+
⇔
−
+
+
≥
.
Endi (*)dan foydalansak,
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
1 1 1
1
(
)
(
)
(
)
2
2
2
a
b
b
c
c
a
a b b c
a c
ab a
b
bc b
c
ac a
c
ab
bc
ac
a b c
+
+
+
+
+
+
+
+
≥
+
+
= + + =
+
+
+
munosabat hosil bo’ladi.
68.
O’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini
qo’llab,
32
36
32
1
1
1
...
36
32
32
32
та
a b c d
abcd
abcd
abcd
abcd
⎛
⎞
+ + + +
+ +
≥
⎜
⎟
⎝
⎠
munosabatni topamiz.
Endi
32
32
36
36
1
1
36
18
2
1
32
32
abcd
abcd
abcd
abcd
⎛
⎞
⎛
⎞
≥
⇔
≥ ⇔
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
(
)
32
36
36
31
4
160
1
2
1
2
1
32
2
2
abcd
abcd
abcd
abcd
⎛
⎞
⇔
=
≥ ⇔
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
tengsizlikni isbotlasak
masala yechiladi. O’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi
47
tengsizligini berilgan tenglikka qo’llab,
2
2
2
2
2 2 2
2
4
1
4
4
a
b
c
d
a b c d
abcd
=
+
+
+
≥
=
⇔
4
1
2
abcd
≤
ekanligini topamiz.
69.
Berilgan tengsizlikni chap qismidagi qavslarni ochib o’rta arifmetik va o’rta
geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini qo’llaymiz. U holda
2
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
(
2)(
2)(
2)
2(
) 4(
) 8
2(
1) 2(
1) 2(
1) 3(
)
2
4(
) 3(
) (
) 2
2 7(
)
x
y
z
x y z
x y
y z
z x
x
y
z
x y
y z
z x
x
y
z
x y z
x
y
z
xy yz zx
xy yz zx
x
y
z
x y z
x y z
x
y
z
xy yz zx
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+ =
=
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+ +
+
+
≥
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
=
=
+
+
+
+ +
+
+
ekanligini topamiz. Bundan
2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
x y z
x
y
z
xy
yz
zx
+
+
+
+ ≥
+
+
(*)
tengsizlikni isbotlasak masala yechiladi.
Lemma:
Istalgan
a, b, c
musbat sonlar uchun quyidagi
(
)(
)(
)
a b c b c a a c b
abc
+ −
+ −
+ − ≤
tengsizlik o’rinli.
Isboti: Aytaylik
a+b-c=m, b+c-a=n, a+c-b=k
bo’lsin, bundan
2
m n
a
+
=
,
2
m n
b
+
=
,
2
k n
c
+
=
tengliklarni topamiz. U holda 8
(
)(
)(
)
mnk
m n n k m k
≤
+
+
+
ekanligini ko’rsatish yetarli. Bu tengsizlikni ushbu:
2
m n
mn
+ ≥
,
2
n k
nk
+ ≥
,
2
m k
mk
+ ≥
tengsizliklarni hadma-had ko’paytirish natijasida hosil qilamiz.
3
3
3
3
3
3
2
2
2
(
)(
)(
)
3
(
)
(
)
(
) 2( )
2( )
2( ) .
a b c b c a a c b
abc
abc a
b
c
ab a b
bc b c
ca c a
ab
bc
ca
+ −
+ −
+ − ≤
⇔
+
+
+
≥
≥
+ +
+ +
+
≥
+
+
Oxirgi tengsizlik istalgan a, b, c musbat sonlar uchun o’rinli ekanligidan,
quyidagicha
2
3
a x
=
,
2
3
b y
=
,
2
3
c z
=
belgilash olamiz. Bundan
2
2
2
2
3
3(
)
2
2
2
xyz
x
y
z
xy
yz
zx
+
+
+
≥
+
+
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu yerdan
quyidagi
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3(
)
(
) 2
xy
yz
zx x
y
z
xyz
x
y
z
xyz
+
+
≤
+
+
+
≤
+
+
+
+
munosabatni, ya’ni (*) to’g’ri ekanligini topamiz.
48
70.
Berilgan tengsizlikni chap qismini S bilan belgilab, quyidagi usulda Koshi-
Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligini qo’llaymiz:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
a
a
a
S
a
x
a
a
a
x
a
x
=
=
=
=
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
=
≤
≤
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
∑
.
Bizga ma’lumki
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
0
i
i
i
a
x
a
x
a
+
>
+
−
>
(i=1, 2, …, n). Bundan
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
a
a
x
a
a
x
a
a
x
=
=
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
<
−
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
+
−
+
+
+
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
. Berilgan shartdan
1
1
i
i
a
a
+
≥ +
yekanligini topamiz. Bundan
2
2
2
2
1
1
i
i
i
i
a
a
x
a
a
x
+
+
−
+
≥
+ +
va
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
i
i
n
n
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
=
=
=
=
≤
+
−
≤
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
+
⇔
−
≤
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
+
−
+
+
+
−
+
+
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
∑
yoki
2
2
1
1
1
2
2
2
S
a
a
x
≤
−
+
munosabatni hosil qilamiz.
71.
Quyidagi tenglikni qaraymiz
(
)
2
9
x y z
+ +
=
yoki
2
2
2
9
2
x
y
z
xy yz zx
−
−
−
+
+
=
. Bundan o’rta arifmetik va o’rta geometrik
miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini qo’llab,
2
2
2
3
3
3
2
2
2
x x
y y
z z
xy yz zx
x
y
z
−
−
−
+
+
=
+
+
≤
+
+
munosabatni hosil qilamiz.
72.
a
va
b
sonlar musbat va butun ekanligidan,
2
a
b
≠
yoki
2
2
2
a
b
≠
bulardan
(
)(
)
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
a
b
a
b a
b
a
b a
b
−
≥ ⇔
−
+
≥ ⇔
− ⋅
+ ≥
munosabatni
49
hosil qilamiz. 0
2
2
2
2(
)
a
b
a
b
a b
<
+ <
+
=
+
ekanligidan
1
1
2
2(
)
2
a
b
a b
a
b
− ≥
>
+
+
munosabat kelib chiqadi.
73.
Avvaliga
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
a c
b d
a
b
c
d
+
+
+
≤
+
+
+
(*) tengsizlikni
isbotlaymiz: tengsizlikning ikkala qismini kvadratga oshirib,
(
)(
)
2
2
2
2
a
b
c
d
ac bd
+
+
≥
+
yoki
(
)
2
0
ad bc
−
≥
munosabatni hosil qilamiz.
Endi
(
) (
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ad bc
a
b
c
d
a c
b d
a c
b d
−
+
+
+
≤
+
+
+
+
+
+
+
(**)
tengsizlikni isbotlaymiz: (**)ning ikkala qismiga umumiy mahraj tanlab va (*)dan
foydalanib,
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b
c
d
a c
b d
ad bc
+
+
+
≤
+
+ +
+
−
(***)
munosabatni hosil qilamiz. Bundan
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
a
b
c
d
ac bd
ad bc
ac bd ad bc
+
+
≤
+
+
−
⇔
+
−
≥
munosabatni hosil qilamiz. Demak, (***) isbotlandi. Bulardan esa isboti talab
etilgan tengsizliklar kelib chiqadi.
74.
Tengsizlikni ikkala qismini
abc
ga bo’lib,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
bc
a
ac b
ab c
bc
ac
ab
+ +
+ +
+ ≥ +
+
+
tengsizlikni hosil qilamiz.
Endi,
1
1
1
1
bc
a
a
bc
+ ≥ +
(*) ekanligini ko’rsatamiz: (*)ni ikkala qismini
kvadratga oshirib,
(
)
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1 1
2
1
0
b
c
bc
a
a
bc
a
b c
a bc
bc
bc
−
+ ≥
+
+
⇔ ≥ +
⇔ + ≥
⇔
−
≥
munosabatni hosil qilamiz. Xuddi shunday:
50
1
1
1
1
1
1
1
1
,
ac b
b
ab c
c
ac
ab
+ ≥
+
+ ≥
+
munosabatlar o’rinli. Bu tengsizliklarni hadma-had qo’shib, isboti talab etilgan
tengsizlikni hosil qilamiz.
75.
,
,
a b c x b c a y c a b z
+ − =
+ − =
+ − =
deb belgilash kiritsak, u holda
,
,
2
2
2
x z
x y
y z
a
b
c
+
+
+
=
=
=
tengliklarni topamiz va bu tengliklarni yuqoridagi
tengsizlikka qo’yib,
2
2
2
x z
x y
y z
x
y
z
+
+
+
+
+
≥
+
+
munosabatni hosil
qilamiz. ,
0
a b
∀
>
sonlar uchun
2
2
a
b
a b
+
+
≤
(*) tengsizlik o’rinli. (*) dan
foydalansak
2
2
2
2
2
2
x
y
y
z
x
z
x y
y z
z x
x
y
z
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
≤
+
+
.
76.
O’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini
quyidagi usulda qo’llaymiz:
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2(
) 3 (
) (
) (
)
3
3
3
a b b c c a
a b a b b
b c b c c
c a c a a
a b
b c
c a
+
+
+ ≥
+
+ +
+
+ +
+
+
≥
≥
+
+
Bundan yuqoridagi tengsizlik isbotlandi.
77.
O’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligini
qo’llab,
3
3
3
3
3
1
1
1
1
3
3
3
1 3
1 2 1
a
b
c
a
a
a
b b b
c
c
c
b
c
a
b
c
a
a
c b
a b c
b
a
c
a b c
a b c
abc
abc
abc
abc
abc
⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
+
+
+
=
+ +
+
+ +
+
+ +
− ≥
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
+ +
+ +
⎛
⎞
≥
+
+
− =
− ≥
+
⎜
⎟
⎝
⎠
tengsizlikni hosil qilamiz.
51
78.
Tengsizlikni chap qismini S bilan belgilab va Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts
tengsizligini quyidagi usulda qo’llaymiz:
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
1
1
2
...
...
n
n
S a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+ +
+
≥
+
+ +
bundan
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
...
...
1
2
2
2
n
n
a
a
a
a
a
a
S
n
n
+
+ +
+
+ +
≥
≥
=
tengsizlik hosil bo’ladi.
79.
,
,
x
y
z
a
b
c
y
z
x
=
=
=
deb belgilash kiritsak, u holda yuqoridagi tengsizlik
quyidagi
(
)(
)(
)
x y z y z x z x y
xyz
− +
− +
− +
≤
ko’rinishga keladi. Bu tengsizlik
| 