Interpolyatsion ko‘phad tuzishning original usuli Lagranj tomonidan kashf qilingan. Interpolyatsion ko‘pxadni (2.1) ko‘rinishda emas
n(x) (2.3)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu erda lar funksiyaning jadval qiymatlari lar esa xar biri darajali ko‘pxad. U xolda (2.3) ifoda xam darajali ko‘pxad bo‘ladi. ko‘pxadlarni esa
shartga ko‘ra aniqlaymiz. Boshqacha qilib aytganda ildizlari bo‘lgan darajali ko‘phad bo‘lar ekan. Demak uni
xn) ko‘rinishda
ifodalash mumkin. Pin(xi)=1 shartga ko‘ra esa topiladi. Bu ifodalarni (2.3) formulaga qo‘yilsa
(2.4)
ko‘rinishdagi ko‘phadni hosil qilamiz. (2.4) ko‘phad tengmas oraliqlar uchun Lagranj interpolyasion ko‘phadi deyiladi.
Lagranj interpolyatsion ko‘phadini tuzishni quyidagi misolda ko‘rib chiqamiz.
Jadval bilan berilgan funksiya uchun Lagranj interpolyatsion ko‘phadi tuzilsin deyilgan bo‘lsa,(2.4) formula bo‘yicha quyidagi ko‘phadni hosil qilamiz. Bu erda
Demak +3 berilgan masala echimi bo‘lar ekan.
Bevosita tekshirish bilan bu ko‘phad jadvalga to‘la mosligini ko‘ramiz.
Interpolyatsion ko‘phadning qoldiq hadi
Interpolyatsion ko‘phadning qoldiq hadi, yoki xatoligi
deyiladi. SHartga ko‘ra barcha …n nuqtalarda =0 bo‘ladi. SHuning uchun uni
xn) (2.5)
Ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lar ekan. Bu erda ;Xn) Roll
teoremasi bo‘yicha kelib chiqadigan nuqta. Agar 1) xosilalar chegaralangan bo‘lsa, ortgan sari xatolik nolga intilib borishi ko‘rinadi.
Agar ,xn nuqtalar teng oraliqlar bo‘yicha joylashgan bo‘lsa, ya’ni
formulaga muvofiq kelsa, Lagranj interpolyatsion ko‘pxadi ko‘rinishini soddalashtirish mumkin bo‘lar ekan. Haqiqatdan xam t*h formula
bo‘yicha yangi o‘zgaruvchi t ga o‘tadigan bo‘lsak va
munosabatlarni e’tiborga olsak yangi t o‘zgaruvchilarda (2.4) ko‘pxad quyidagi ko‘rinishni oladi.
(2.6)
(2.6) formula teng oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion ko‘pxadi deyiladi. Uning qulayligi, (2.6) formulada qiymatlar umuman qatnashmaydi va (2.4) ga qaraganda soddaligi va universalligi bor. Bu almashtirish(2.5) xatolik formulasiga qo‘yilsa xatolik tartibi bo‘yicha n+1) bo‘lishini ko‘ramiz.
| 