Uchinchi metod Hilbert va Shmidt (Schmidt) lar tomonidan ishlab chiqil

Isbot. C
n
fazoda aniqlangan chiziqli A operatorning chegaralanganligi
34.1-teoremada isbotlangan edi. A chegaralangan operator bo`lganligi uchun,
har qanday chegaralangan to`plamni yana chegaralangan to`plamga o`tkazadi.
Har qanday chegaralangan to`plam esa chekli o`lchamli fazoda nisbiy kompakt-
dir. Demak, A : C
n
→ C
n
chiziqli operator kompaktdir.
∆
35.2-teorema. A ∈ L(X, Y ), dim ImA < ∞ bo`lsin. U holda A
kompakt operator bo`ladi.
Isbot. A chegaralangan operator bo`lganligi uchun ixtiyoriy chegaralangan
M
to`plamni yana chegaralangan A(M) to`plamga akslantiradi. Ma'lumki,
A(M) ⊂ ImA
va dim ImA < ∞ bo`lgani uchun A(M) nisbiy kompaktdir.
Demak, A − kompakt operator.
∆
35.1-misol. C
n
Evklid fazosidagi Ix = x birlik operatorni kompaktlikka
tekshiring.
Yechish. Birlik operatorning chiziqliligi 29.1-misolda ko`rsatilgan. 35.1-
teoremaga ko`ra Ix = x, x ∈ C
n
birlik operator kompakt bo`ladi.
∆
Cheksiz o`lchamli fazolarda kompaktlik talabi uzluksizlik talabidan ancha
kuchliroq hisoblanadi. Hozir biz uzluksiz, lekin kompakt bo`lmagan operatorga
misol keltiramiz.
35.2. H Hilbert fazosidagi Ix = x birlik operatorning kompakt emasligini
ko`rsating.
Yechish. Birlik operatorning uzluksizligi uning chegaralangan ekanligidan
kelib chiqadi (29.1-misolga qarang). Endi uning kompakt emasligini ko`rsatamiz.
H
dagi B[θ, 1] := {φ ∈ H : k φ k ≤ 1} birlik yopiq sharni qaraymiz. Bu
to`plam chegaralangan to`plam bo`ladi, uning I akslantirishdagi tasviri (aksi)
o`ziga teng. Lekin birlik shar nisbiy kompakt emas. Buni isbotlash uchun H
da ixtiyoriy {φ
n
}
ortonormal sistemani olamiz. Ma'lumki, ixtiyoriy n ∈ N
374

uchun φ
n
∈ B[θ, 1].
Agar n 6= m bo`lsa, u holda
kφ
n
− φ
m
k
2
= (φ
n
− φ
m
, φ
n
− φ
m
) = (φ
n
, φ
n
) + (φ
m
, φ
m
) = 2.
Bu yerdan ko`rinadiki {φ
n
}
ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin emas. Demak, birlik shar B[θ, 1] nisbiy kompakt
to`plam emas ekan. Bu o`z navbatida birlik operatorning kompakt emasligini
bildiradi.
∆
Cheksiz o`lchamli Banax fazolarida birlik sharning nisbiy kompakt to`plam
emasligi quyidagi lemmadan kelib chiqadi.
35.1-lemma. X − chiziqli normalangan fazo va x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
lar
X
dagi chiziqli erkli sistema bo`lsin. X
n
bilan x
1
, x
2
, . . . , x
n
elementlarning
chiziqli qobig`idan tashkil topgan qism fazoni belgilaymiz. U holda quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . .
vektorlar mavjud:
1) ky

Download 222.76 Kb.