n
k = 1;
2) y
n
∈ X
n
;
3) ρ(y
n
, X
n−1
) = inf
x∈X
n−1
ky
n
− xk >
1
2
.
Isbot. Lemma shartiga ko`ra x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
elementlar sistemasi chi-
ziqli erkli. Shuning uchun, x
n
/
∈ X
n−1
va X
n−1
ning yopiq chiziqli ko`pxillilik
ekanligidan ρ(x
n
, X
n−1
) = α > 0
bo`ladi. Shunday x
∗
∈ X
n−1
element
mavjudki kx
∗
− x
n
k < 2α
bo`ladi. U holda
α ≤ ρ (x
n
− x
∗
, X
n−1
) .
Natijada
y
n
=
x
∗
− x
n
kx
∗
− x
n
k
vektor 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi vekror bo`ladi. y
1
vektor sifatida x
1
/ kx
1
k
vektorni olish yetarli.
∆
Bu lemmadan foydalanib, cheksiz o`lchamli Banax fazosidagi yopiq birlik
sharda yotuvchi shunday {y
n
}
ketma-ketlik qurish mumkinki, ky
n
− y
m
k >
375
1/2, n 6= m
shart bajariladi. Bunday ketma-ketlik o`zida birorta ham yaqin-
lashuvchi qismiy ketma-ketlikni saqlamaydi. Demak, cheksiz o`lchamli Banax
fazosidagi birlik shar nisbiy kompakt to`plam emas. Bu yerdan quyidagi natija
kelib chiqadi.
35.1-natija. Agar X − cheksiz o`lchamli Banax fazosi bo`lsa, u holda I :
X → X, Ix = x
operator kompakt emas.
35.3-ta'rif. X, Y − Banax fazolari bo`lsin. Agar A : X → Y chiziqli
operator X fazodagi birlik sharni Y fazodagi nisbiy kompakt to`plamga aks-
lantirsa, A ga kompakt operator deyiladi.
35.3-ta'rifga teng kuchli bo`lgan quyidagi ta'rifni keltiramiz.
35.4-ta'rif. Bizga A ∈ L(X, Y ) (X, Y − Banax fazolari ) operator va
ixtiyoriy {x
n
} ⊂ X
chegaralangan ketma-ketlik berilgan bo`lsin. Agar {Ax
n
}
ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo`lsa, u
holda A ga kompakt operator deyiladi.
35.3-misol. Berilgan har bir n ∈ N uchun
A
n
: `
2
→ `
2
, A
n
x = (α
1
x
1
, α
2
x
2
, . . . , α
n
x
n
, 0, 0, . . .)
operatorning kompaktligini ko`rsating.
Yechish. A
n
operatorning kompakt ekanligini ko`rsatishda 35.2-teoremadan
foydalanamiz. Chunki A
n
chegaralangan operator va dim ImA
n
= n < ∞.
Haqiqatan ham,
kA
n
xk
2
=
n
X
k=1
|a
k
· x
k
|
2
≤ max
1≤k≤n
|a
k
|
2
·
n
X
k=1
|x
k
|
2
≤ max
1≤k≤n
|a
k
|
2
· k x k
2
.
Demak, A
n
chegaralangan va uning normasi uchun
kA
n
k ≤ max
1≤k≤n
|a
k
|
tengsizlik o`rinli. A
n
operatorning qiymatlar sohasi ImA
n
esa {e
1
, e
2
, . . . , e
n
}
vektorlar sistemasidan hosil bo`lgan qism fazo bilan ustma-ust tushadi. Shu-
376
|
