1
6 -ma’ruza
Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi.
Operatsion hisobning asosiy teoremalari
Ma’ruza rejasi:
1.
Laplas almashtirishi.
2.
Original va tasvir.
3.
Operatsion hisobning asosiy teoremalari.
Laplas almashtirishi
Haqiqiy o’zgaruvchili
funksiyaning Laplas almashtirishi deb
(1)
formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili
funksiyaga aytiladi, bu
yerda
Integral kompleks
parametrga bog’liq bo’lib,
unga Laplas integrali
deyiladi.
funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral
yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror
funksiyani aniqlasin?
Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin:
1.
funksiya da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz
yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli);
2.
Barcha
larda ;
3.
da | | funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan
oshmaydi, ya’ni shunday
va mavjudki, barcha larda
| |
(2)
(2) tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha
qiymatlarning quyi chegarasi
qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi.
3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi.
Bu shartni barcha
chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha
darajali funksiyalar
qanoatlantiradi.
Original va tasvir
1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
funksiya original
deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi
funksiya esa
funksiyaning
tasviri deb ataladi
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni
, yoki [ ]
ko’rinishda belgilaymiz.
Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning
aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.
Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki,
differensiallash amali
ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi
funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.
1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.
► a) Birlik funksiya va uning tasviri.
2
Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:
{
Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz
|
Bu tenglik
shart bajarilganda o’rinli. Demak
(3)
Agar
funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u
holda
{
funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi.
(3) tenglikda
ko’paytuvchini ko’paytuvchini tushirib qolamiz va
funksiyani
da nolga teng deb hisoblaymiz. Bu holda
b)
.
Bu integral
demak
da yaqinlashuvchi va
ya’ni
c)
bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son.
Ma’lumki,
[
]
Shuning uchun ta’rif bo’yicha
Shunday qilib
bu yerda
c) Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak
munosabatni hosil qilamiz (tekshiring).
3
d)
, kompleks son.
Ta’rifga ko’ra
(
)
Shunday qilib
e) Xuddi shu singari
munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring);
f)
, kompleks son
Shuning uchun
bu yerda
| |
Demak,
g)
| | (mashq sifatida tekshiring).◄
Endi har qanday original uchun tasvir mos
kelishi haqidagi teoremaga
o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli:
