|
«Materialshunoslik va aniq fanlar» kafedrasi Bakalavriatning Iqtisodiyot ta’lim yo‘nalishi sirtqi ta’lim shakli I kurs talabalari uchun
|
| bet | 1/2 | | Sana | 18.02.2024 | | Hajmi | 194,5 Kb. | | #158507 |
Bog'liq Topshiriq. Shaxnoza 15-23
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETINING QO‘QON FILIALI
Muhandislik texnologiyalari fakulteti
«Materialshunoslik va aniq fanlar» kafedrasi
Bakalavriatning Iqtisodiyot ta’lim yo‘nalishi
sirtqi ta’lim shakli I kurs talabalari uchun
«Amaliy matematika» fanidan
15.23 – guruh talabasi
Isomitdinova Shaxnozaxon Sobirovnaning
“Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi. Tartibi pasaytiriladigan differensial tenglamalar” mavzusidagi
MUSTAQIL ISHI
Qo’qon 2024
Reja
1. Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar.
2. Koshi masalasi. yechimning mavjudligi va yagonaligi
3. Tartibi pasaytiriladigan differensial tenglamalar.
1. Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar.
Yuqori tartibli tenglamalarni ba’zi hollarda tartibini pasaytirish mumkin. Hozir shunday tenglamalarning bir necha tiplarini ko’rib o’tamiz.
Ushbu
(1kn) (1)
(1) tenglamada y, ,…,y(k-1) tartibli Hosila lar qatnashmaydi. Bu holda y(k)=z ko’rinishda yangi z funksiya kiritamiz, unda (1) tenglama
(2)
ko’rinishga kelib, tartibi (n-k) ga teng. Biror usul bilan (2) tenglamani yechib, umumiy yechimini topamiz.
almashtirishga ko’ra
ko’rinishiga keladi. So’ngi tenglamani integrallab,
ko’rinishdagi umumiy yechimini olamiz.
MISOL:
Unda =z deb olsak,
yoki Klero tenglamasiga keladi.
Klero tenglamasining yechimi
bo’lib, undan
tenglamaga kelamiz.
Integrallab, quyidagi
y=c1x(x-c1)+c2 ( )
ko’rinishdagi umumiy yechimni topamiz.
ESLATMA: Agar (1) tenglama
ko’rinishida bo’lsa almashtirish qilamiz. Agar
ko’rinishda bo’lsa almashtirish kiritib
ko’rinishdagi tenglamaga keltiriladi.
Agar n-tartibli tenglamani ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, uni integrallash oson amalga oshiriladi. Bunda f(x) (a,b) intervalda uzluksiz funksiya. Bu tenglamani integrallashda tenglikdan ketma-ket foydalanib, integrallaymiz, ya’ni
shu jarayonni n-marta takrorlab umumiy yechimni hosil qilamiz.
(1) tenglamada erkli o’zgaruvchi qatnashmasa, ya’ni
(3)
bo’lsa, u holda =z ko’rinishda yangi o’zgaruvchi kiritamiz va uni erkli o’zgaruvchi sifatida olamiz hamda ketma-ket hosila hisoblamiz:
Bu hosilalarni (3) tenglamaga qo’yib,
n-1 tartibli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini topsak,
z=(y,c,c1,…,cn-1)
ko’rinishida ifodalanadi. Bundan esa
=(y,c,c1,…,cn-1)
tenglamaga kelamiz. So’nggi tenglamani integrallab, (3) tenglamani umumiy yechimi topiladi.
3. (1) tenglamada F funksiya y, o’zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli bo’lsin, ya’ni bir jinsli tenglamalar mavzusida berilgan ta’rifga ko’ra ixtiyoriy t uchun
tenglik o’rinli bo’lsin.
Bunday tenglamalar uchun
almashtirish qilamiz, unda
bo’lib, (1) tenglama
bu bir jinsli ekanligini nazarda tutsak,
Bu tenglamani ym ga bo’lib yuborsak, n-1 tartibli tenglamaga kelamiz. Uni yechib,
echimga ega bo’lamiz , yoki almashtirishga ko’ra
tenglamani yechamiz, buni umumiy yechimi
ko’rinishda bo’lib, (1) tenglamaning bir jinsli bo’lgan holdagi umumiy yechimini ifodalaydi.
Faraz qilaylik tenglama
(4)
ko’rinishda bo’lib, ‘ va Q funksiyalar mos holda k va m tartibli bir jinsli funksiyalar bo’lsin. U holda
(5)
almashtirish qilib, (4) ni x ga nisbatan yechamiz va x ni o’rniga
x= (t) parametr kiritamiz, uni (5) ga qo’yib,
ko’rinishni hosil qilamiz.
Shunday qilib,
parametrik ko’rinishdagi tenglamani hosil qilamiz. tenglikdan foydalanib ketma-ket integrallaymiz.
ESLATMA: F funksiya bir jinsli bo’lgan holda
almashtirish kiritish ham tenglama tartibini kamaytirishiga olib keladi.
MISOL: tenglamani yeching.
Tekshiramiz: ,
bundan demak, berilgan tenglama ni nisbatan bir jinsli ekan. Endi
belgilash kiritamiz:
Hosila lar bilan birga tenglamaga qo’yamiz.
yoki bo’ladi. tenglamani yechib, topamiz. Almashtirishi ko’ra
umumiy yechim hosil bo’ladi.
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
«Materialshunoslik va aniq fanlar» kafedrasi Bakalavriatning Iqtisodiyot ta’lim yo‘nalishi sirtqi ta’lim shakli I kurs talabalari uchun
|
