Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini kvadrat ildiz usulida yechish. Ushbu
usulda yechim topishni dasturlash. Berilgan variant misolida ushbu usul
qo’llanishini ko’rsatish.
Aytaylik
ChATS ni yechish talab qilingan boʻlsin, quyidagicha belgilashlar kiritamiz:
u holda (1) ni quyidagicha
matritsa koʻrinishda yozish mumkin.
ChATS ni yechishning kvadrat ildizlar usuli - aniq usul hisoblanadi. Ushbu
usulni qoʻllash uchun A matritsa determinanti det(𝐴) ≠ 0 va simmetriklik shartlari
bajarilishi lozim (𝑎
𝑖𝑗
= 𝑎𝑗𝑖 , 𝑖,𝑗 = 1,2, … , 𝑛). Formulalar boʻyicha
hisoblash
jarayonida kompleks sonlar hosil boʻlishi mumkin,
buni oldini olish uchun A
matrisadan yana bir shart musbat aniqlanganlik shartini talab qilamiz.
Matritsa
musbat aniqlangan hisoblanadi, agar barcha bosh minorlar musbat boʻlsa.
Kvadrat ildizlar usulini qoʻllashga asos boʻlib quyidagicha teorema hisoblanadi.
Teorema: Aytaylik AX=B sistema kvadrat ildizlar usuli qoʻllanilishi
shartlarini
bajarsin, u holda shunday S yuqori
uchburchak matritsa mavjudki
3
boʻladi.
Bunday holda boshlangʻich (3) sistemani
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ (𝑆 ∙ 𝑆) ∙ 𝑋 = 𝐵 ⟹ 𝑆 ∙ (𝑆 ∙ 𝑋) = 𝐵 koʻrinishda yozish mumkin.
Agar 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌
deb belgilash kiritsak, u holda 𝑋
yechimni topish algoritmi
quyidagicha koʻrinishni oladi:
1. 𝑆 ∙ 𝑆 = 𝐴 tenglamadan S-matritsa elementlarini topamiz.
2. 𝑆 ∙ 𝑌 = 𝐵 tenglamadan Y-ustun matritsa (vector) elementlarini topamiz.
3. 𝑆 ∙ 𝑋 = 𝑌 tenglamadan esa X-ustun matritsa, yaʼni yechimni topamiz. Yuqorida
keltirilgan algoritmda faqatgina birinchi bosqich koʻp mehnat talab qiladi. Masalan
A matritsa 4 × 4 matritsa boʻlsa, u holda S matritsani topish formulalarini keltiramiz,
keyin umumiy holga oʻtamiz:
