|
O‘zbekiston respublikasi raqamli texnologiyalar vazirligi muhammad al xorazimiy nomidagi
|
| bet | 1/2 | | Sana | 05.03.2024 | | Hajmi | 349.61 Kb. | | #167358 |
Bog'liq 023-21 Komilov Diyorbek Коррупция, React 50 вопросов на собеседование, Linkedin, Маърузалар матни, 1 ON savollari, irregular VERBS, 3.Pul oqimlari to’g’risidagi hisobot, Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti, 7-Mavzu obligatsiyalar bozori reja, «tasdiqlangan», Дизайн без названия, 7-Mavzu obligatsiyalar bozori reja (1), WEB yakuniy pdflar (3), 4-amaliy ish mavzu Risklarni baholash usullari. Riskni “Nosozli, Topografik chizmachilik. Murodov Sh. Ismatullayev R
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR VAZIRLIGI
MUHAMMAD – AL XORAZIMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLIGIYALARI UNIVERSITETI
Algoritmlarni loyihalash fanidan
MUSTAQIL ISH
Mavzu: Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechish usullarini yaqinlashish tezligi bo‘yicha baholash
023-21 guruh talabasi
Bajardi: ____________ D.Komilov
Tekshirdi: ____________ A.Turg‘unov
2023-2024
Mavzu: Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechish usullarini yaqinlashish tezligi bo‘yicha baholash
Reja:
Algebraik tenglamalar.
Transtendent tenglamalar.
Tenglamalarni taqribiy yechish usullari.
Algebraik tenglama - P(x1 ,x2 ,…,xn )=0 ko`rinishida yoziladi. Bu erda P - x1 ,x2 ,…,xn noma’lum o'zgaruvchilardan iborat ko`phad. Algebraik tenglamaning darajasi P ko`phadning darajasiga teng bo`ladi. x1 ,x2 ,…,xn o'zgaruvchilarning algebraik tenglamaga nol qiymat beruvchi qiymatlari ushbu algebraik tenglamaning ildizlari deb ataladi.
Algoritmlarni loyihalash jarayonida biz hisob-kitoblarni davom ettirish uchun ikki va undan ko'proq yo'llar mavjud bolib, ulardan birini tanlashimizga togri keladi. Hisoblah yo'lni tanlash, ma'lum shartlarni bajarilishiga bog'liq. Xuddi shunday sharoitga biz kvadrat tenglamalarni yechish va uchburchakning yuzini hisoblashnda duch kelganmiz. Algoritmning bunday qismini shakillantirish qoidalari bilan biz ozmi-ko'pmi tanishmiz. Ushbu bo'limda takrorlanish sonlari oldindan ma'lum bolmagan takrorlanuvchi algoritmlarini tuzish usullari bilan tanishamiz. Algoritmlarni bunday turi amaliy masalalarni yechish jarayonida hosil bo'ladi. Ma'lumki, tabiatda yoki texnikida sodir bo'ladigan jarayonlarni tavsiflovchi matematik modellar ko'pincha ushbu jarayon parametrlarini bog'lovchi tenglamalar shaklida beriladi. Agar parametrlar orasida noma'lum qiymatlilari mavjud bo'lsa, bu tenglik tenglamaga aylanadi va bu tenglamani yechish kerak bo'ladi. Ba'zan tenglamaning berilishiga qarab, yechimning analitik usullarini topish mumkin. Ammo ko'p hollarda yechimning analitik usullarini topish mumkin bo`lmay qoladi va bunday hollarda taqribiy yechish usullari qo'llaniladi. Bundayi yondoshuvni oqlaydigan yana bir holatga e'tibor qaratsak. Ma'lumki, jarayonning fizik parametrlari qiymatlari o'lchov asboblari yordamida o'lchanadi, asboblarning aniqligi bo'linish shkalasi va asboblarning sozligiga bog'liq. Demak, o'lchov natijasida olingan qiyimatlar bilvosita chetlab bo`lmaydigan xatoliklarni o'z ichiga olishi mumkin va ular natijani aniqligiga ta'sir ko'rsatadi. Bu holda berilgan tenglamaning aniq yechimini topish noreal masala bo`ladi, chunki yechim ichida dastavval xatoliklar bor. Agar usul xatoligi dastlabki ma`lumotlar xatoligi tartibiga mos kelsa, bunday tanlangan usul mantiqan o`zini oqlaydi. Bu fikr bizga doimo qo'llanma va dasturul amal bo'lib xizmat qiladi. Masalaning fizik tomoniga qaramasdan, to'g'ridan-to'g'ri matematik masalani ko'rib chiqamiz. Quyidagi tenglamaning a;b oraliqdagi yechimini topish talab qilinadi:
Bu ko`rinishdagi f x funktsiyalar uchun tenglamaning aniq yechimlarini topishning analitik formulalari mavjud. Buning uchun tenglamaning ildizini har qanday oldindan aniqlangan yo`l bilan topishga imkon beradigan, f x funktsiya va uning a;b oraliqdagi, faqat taqribiy yechimlarining universal usulini ko'rib chiqamiz, shuningdek, ushbu usul algoritmlarini aniq keltirib va EXM-da osongina amalga oshiramiz. tenglamaning ildizlarini ajratib otirmasdan, tenglamani a;b oraliqda topilgan bitta ildizini tanlab olamiz va keyigi bosqichga o`tamiz. Biz bu tenglama ildiznini kerakli aniqlikda yetarlicha kichik son uchun, 0 tanlashmiz kerak. Endi biz sodda, keng tarqalgan usullardan biri, oraliqlarni ikkiga bo'lish usuli bilan tanishamiz. Shunday qilib, bizga tenglama va bu tenglamaning a;b oraliqqa tegishli bitta ildizi berilgan bo`lsin. (3.1) tenglama ildizining a;b oraliqqa tegishli bo'lishining zaruriy sharti f a b0. Bu algoritmni tuzishda asosiy shartlardan biri bo'ladi. Soddagina qilib algoritmni quyidagicha maxsus tushuntirishlarsiz sxematik tarzda keltiramiz:
1. Kiritish a,b,
Algoritmning g'oyasi shundan iboratki, oraliqni ikkiga bo'lib so'ngra, kerakli ildiz tushgan yarmini olamiz. Bu usulni davom ettirib, n qadamdan keyin biz kerakli ildizni o'z ichiga olgan b а /2n oraliq uzunligini olamiz. Agar bu oraliqning uzunligi dan kichik bo'lsa, u holda bu oraliqning istalgan nuqtasini topish mumkunki, uning ildizi dan kichik bo'lsin. Shunday qilib, ushbu oraliqning o'rtasini kerakli ildizning taqribiy qiymati sifatida tanlaymiz. Quyidagi tengsizlikdan aniqlikka erishish uchun zarur bo'lgan qadamlar sonini oson hisoblab topish mumkin,
Yuqoridagi algoritmdan foydalanib, ushbu tenglama dasturi algoritmini osongina amalga oshirishimiz mumkin. Qadamlarining ko`pligi ushbu usulning qiyinchiligi va kamchiligini bildiradi. Algebraik tenglamalarni yechishning tejamkor usullaridan biri vatarlar usuli hisoblanadi. Ushbu usul ko'rinishi rasmda sxematik tarzda ko'rsatilgan.
Bu y f x funktsiya grafigi OXY dekart koordinatalar sistemasida a; b oraliqda chizilgan. Funktsiya grafigidan Aa,fa B b,f (bnuqtalarni olib, bu nuqtalarni tutashtirib АВ to'g'ri chiziq chizamiz.
Ushbu АВ to'g'ri chiziqning OX o'qi bilan kesishish nuqtasi tenglamaning ildiziga keyingi yaqinlashishi sifatida qarash mumkin. Funksiya grafigida A1x1,f(x1). nuqtani belgilaymiz. Bu nuqtadan OX o'qi bilan А1В kesmasini o`tkazib, kesishish nuqtasini х2 deb belgilaymiz. Ushbu jarayonni davom ettirsak, asta-sekin kerakli ildizga yaqin bo`ladigan, х1,х2,х3,…- nuqtalar ketma-ketligini olamiz. Bu nuqtalar ketma ketligidan yf (x) funktsiya grafigining OX o'qi bilan kesishish nuqtasidagi ildiziga intiladi.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, bu holda B b, f (b) nuqta qo`zg`almas bo'lib, Aa,f(a nuqta boshlang`ich bo`lib, ketma-ket yaqinlashtirib boriladi. Buning uchun ushbu usulda algoritmning aniq bir nuqtasini oldindan belgilash kerak bo'ladi. Agar а,b oraliqlar bo'yicha f‘x. f‘‘(x0, shartlar bajarilsa B nuqta qo`zg`almas bo`ladi, agar f‘x. f‘‘(x0 bo`lsa, A nuqta qo`zg`almas bo`ladi.
Ushbu usulni dastur tuzishdan oldin tekshirish mumkin, ammo doimo bunday masalalarni yechishda uning ishorasi butun oraliq davomida saqlanib qoladi va ishorani oraliqning istalgan nuqtasida tekshirib, dasturlash orqali tanlovni amalga oshirish mumkin. Yuqoridagi tushunchalardan so'ng vatarlar usuli algoritmini loyihalashtirishga kirishishimiz mumkin. Shuning uchun biz algoritmni ma'lum bir algoritmik tilga bog'lamasdan sxematik tarzida tasvirlaymiz:
Tenglamaning yechimlarni topishning bu usulini iteratsiya usuli deb ataladi. Kerakli aniqlikka yetishish uchun qancha takrorlanish qo'llanilishini oldindan bilmaymiz. Takrorlanishlar sonini hisoblaydigan dasturni matnga kiritishimiz mumkin. Intuitiv va vizual ravishda, rasm orqali iteratsiya usuli oraliqlarni ikkiga bo'lish usulidan ancha samarali ekanligini ko`rishimiz mumkin.
Endi algebraik tenglamalarni yechishning yana bir usuli - Nyuton usulini ko'rib chiqamiz. Nyuton usuli ketma-ket yaqinlashish usuli bo`lib, uning ko'rinishini grafik usulida rasmda ko`rishimiz mumkin.
Nyuton usulida quyidagi shartlar bajarilsin, yani y f x funktsiya х [аb] oraliqda uzluksiz va hosilasi mavjud bo`lsin, yana shu а,b oraliqda f(x)0 bo`lsin. Bu shartlarni qanoatlantiruvchi a,b oraliqda tenglamaning berilishidan u yagona yechimga ekanligi kelib chiqadi.
Agar biror [a,b] oraliqda y = f(x) funksiya uzluksiz bo‘lib, f(a) · f(b) < 0 bo‘lsa, shu oraliqda f(x)=0 tenglamaning kamida bitta ildizi mavjud bo‘ladi.
Agar biror [a,b] oraliqda y=f(x) funksiya uzluksiz bo‘lib, birinchi tartibli uzluksiz xosilaga ega bo‘lsa va f(a) · f(b) < 0 , f ‘ (x) ( [a,b] da ishorasi o‘zgarmasa) shartlar bajarilsa, f(x)=0 tenglama shu oraliqda yagona xaqiqiy ildizga ega bo‘ladi.
Bu usulda biz х0а,b nuqtani tanlaymiz. Bu (х0;f (х0) nuqtani boshlang'ich yaqinlashish nuqtasi deb olib, shu nuqtada funktsiya grafigiga urinma o`tkazamiz. Ushbu urinmaning OX o'qi bilan kesishish nuqtasi х1. ni boshlang`ich yaqinlashish deb qabul qilamiz, xuddi shu tarzda, (х1;f (х1)nuqtadan chizilgan urinmani OX o'qi bilan kesishishgan х2 nuqtasi belgilanadi. Keyingi х3, х4,… hisoblashlar ham shunga o'xshash tarzda topiladi. Bu jarayon |xnxn-1| shart bajarilmaguncha davom etadi. Bu jarayonning yaqinlashuvchanliligini rasmdan ko'rish mumkin. Nazariy jihatdan yaqinlashish tezligi yetarlicha yuqori ekanligini ko`rishimiz mumkin. Bu amaliy misollar bilan tasdiqlangan. Nyuton usulining yana bir afzalligi shundaki, Nyuton usulida agar qandaydir xatolikka yo`l qo`ysak, ya'ni qaysidir qadamda xato qilsak, usulni o`zi to'g'ri yo'lni tanlaydi. Endi algoritmning matematik tavsifiga va hisoblash tartibiga o'tamiz. y f( x) funktsiya grafigiga x0;f(x0 nuqtaga o`tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha bo`ladi: y-f(x0) f(x0)(x-x0). Urinmaning OX o'qi bilan kesishish nuqtasi: y0. Shuning uchun х1 ning qiymati uchun quyidagi formula o`rinli bo`ladi.
Bu formula keyingi yaqinlashishga o'tish uchun qaytariluvchi (рекуррент) bo`ladi. Keyingi taqribiy qiymati x1ni topish uchun har bir qadamda faqat oldingi х0 taqribiy qiymatdan foydalanamiz, algoritmni shakllantirishda biz ushbu hisoblarni qabul qilib, algoritm matnini soddalashtirishimiz mumkin. Shunday qilib, Nyuton usulining algoritmini quyidagicha ifodalashimiz mumkin.
Algebraik tenglama - P(x1 ,x2 ,…,xn )=0 ko`rinishida yoziladi. Bu erda P - x1 ,x2 ,…,xn noma’lum o'zgaruvchilardan iborat ko`phad. Algebraik tenglamaning darajasi P ko`phadning darajasiga teng bo`ladi. x1 ,x2 ,…,xn o'zgaruvchilarning algebraik tenglamaga nol qiymat beruvchi qiymatlari ushbu algebraik tenglamaning ildizlari deb ataladi. Transendent tenglama- transendent funktsiyalarni (eksponental, logarifmik, trigonometrik va teskari trigonometrik funktsiyalar) o'z ichiga olgan tenglama. Masalan, sin x + lg x = x, 2x - lg x = arccos x.
Tenglama ildizlarini ajratish f(x)=0 (1) tenglamada f(x) funktsiya [a,b] oraliqning uchlarida har xil ishoralarga ega bo`lsa, ya'ni f(a)×f(b) 0 bo`lib, [a,b] oraliqda kamida bitta ildiz borligini ko'rsatadi.
|
| |
