2.2 Elliptik egri chiziqlarning grafiklari
2.5-ta’rif. Biror K-maydonda olingan elliptik egri chiziq deb, quyidagi Veyershtrass tenglamasi deb ataluvchi tenglik orqali aniqlanuvchi
egri chiziqqa aytiladi, bu yerda a1,a2,a3,a4,a6 K
Elliptik egri chiziq odatda E yoki E / K bilan belgilanadi va elliptik egri chiziqqa tegishli nuqtalar, yani (1) tenglama yechimlari shu elliptik egri chiziqning affin nuqtalari deyiladi
2.6-ta’rif. P E nuqta elliptik egri chiziqning silliq nuqtasi deyiladi, agar
bo‘lib, quyidagi shartlardan bittasi o‘rinli bo‘lsa:
fx` 0 yoki f y` 0
1-misol. y 2
|
= x3
|
elliptik egri chiziq uchun (0;0)
|
silliq
|
|
|
nuqta emasligi ko‘rsatilsin.
|
|
|
|
Yechish.
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) y 2 x3 ,f x`3x2, f y` 2y
|
|
|
bo‘lib, (2) shartga nisbatan ziddiyatga kelinadi. Natijada, (0;0) nuqtaning haqiqatan ham silliq nuqta bo‘la olmasligi kelib chiqadi.
2-misol. y2 x3 x2 elliptik egri chiziq uchun (0;0) nuqta silliq nuqta emasligi ko‘rsatilsin.
Yechish. Haqiqatan ham,
f (x, y) y 2 x3 x2 ,f x`3x2 2x ,fy` 2y
bo‘lib, (2) shartga nisbatan ziddiyatga kelinadi. Natijada, (0;0)
nuqtaning haqiqatan ham silliq nuqta bo‘la olmasligi kelib chiqadi:
Quyida elliptik egri chiziqlarning umumiy kanonik ko‘rinishi hisoblangan ushbu
y 2 x3 ax2 bx c , (3)
tenglama bilan ish ko‘ramiz, bu yerda a, b, cZ ( a, b, c - butun sonlar) va ko‘phad p(x) x3 ax2 bx c karrali ildizga ega emas deb qaraladi.
Elliptik egri chiziqqa tegishli rasional nuqtalarni aniqlashusullari. Oldindan shuni aytish lozimki, hozirgi kunda
bx c
tenglamaning barcha rasional yechimlarini toppish matematikada nomalumligicha qolib kelmokda. Lekin, quyidagi ikkita usuldan foydalanib, rasional yechimlarni topish mumkin.
1-usul. Tanlangan tenglamaga qiymatlarni berib, tenglamaning o‘ng tomoni to‘la kvadrat tashkil qilish tekshiriladi. Agar biror qiymatda tenglikni o‘ng tomonidagi ifodaning qiymati to‘la kvadrat tashkil qilsa, u holda tenglamaga tegishli nuqta koordinatalarini
juftliklar bilan fiksirlanadi.
|
