1- лаборатория иши

— yig'indining kvadrati;

— yig'indining kubi.

Yig'indining navbatdagi ikkita ya'ni 4- va 5-darajalarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, yig'indining bikvadrati (ya'ni to'rtinchi darajasi) va yig'indining beshinchi darajasi

formulalariga ega bo'lamiz.Yuqorida keltirilgan yig'indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o'ng tomonlaridagi ko'phad koeffitsiyentlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi sonlar ekanligini payqash qiyin emas.1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun formula o'rinlidir.

lsboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: bo'lganda formula to'g'ri: . Induksion o'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni formula bo'lganda ham to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz: Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ifodaning ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi deb ataladi. Umuman olganda, «Nyuton binomi» iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, undagi har ikki so'zga nisbatan ham shubha tug'iladi: birinchidan- ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya'ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyuton- gacha ma'lum edi. Greklar ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat bo'lgan holida (ya'ni yig'indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom va Ali Qushchi ifodani bo'lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar.Nyuton esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr sonlar uchun ham qo'llagan.L.Eyler 1774-yilda Nyuton binomi formulasini kasr sonlar uchunisbotladi,K.Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko'rsatkichlari uchun qo'lladi.Nihoyat,1825-yilda N.Abel daraja ko'rsatkichiningistalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.Haqiqatan ham, ixtiyoriy sonlar uchun ifodaniko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o'ng tomonida joylash- gan oldidagi koeffitsiyent birga teng. Birinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar soni ga tengligi yaqqol ko'rinib turibdi.

Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Binomial koeffitsiyentlarning ba'zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo'lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.

1-xossa. tenglik o'rinlidir.Haqiqatan ham,bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi: bu yerda,

2-xossa.Ixtiyoriy natural son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni bu tenglik Nyuton binomi formulasida deb olganda hosil bo'ladi.

3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng.Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida va deb olganda tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi.2-va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

4- xossa. natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun tenglik hmda n sondan oshmaydigan eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir.juft son uchun esa munosabatlar оrinlidir.Haqiqatan ham,shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir,bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda,formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz.Agar toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak,formuladan bo'lganda tenglik kelib chiqadi.

Binomial koeffitsiyentlarning 5-xossisi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig'i bolib, unga ko`ra binomial koeffitsiyentlar oldin dan gacha o'sadi, keyin esa gacha kamayadi hamda toq bo'lganda, binomial koeffitsiyentlar qatorining o'rtasidagi ikkita hadi tengdir va juft bo'lganda, uning o'rtadagisi hadi eng katta va yagonadir.Oxirgi tenglik Koshi1 ayniyati, deb aytiladi. Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini kcltiramiz. Birinchidan,ko'phad uchun Nyuton binomi formulasini qo'llab, quyidagi tcnglikni hosil qilamiz:Bu yerdan, s ko'phaddagi ifodaning koeffitsiyenti yig'indiga tengligini aniqlash mumkin.Ikkinchidan, ifodani geometric progressiya hadlari yig'indisi formulasiga binoan, quyidagicha ham yozish mumkin:bu yerda ham Nyuton binomi fonnulasini qo'llab, hosil bo'lgan ko'phadning daraja qatnashgan hadi koeffitsiyenti ekanligini ko'rish mumkin.Keltirilgan bu mulohazalar asosida 6-xossadagi tenglikka ega bo'lamiz.Ravshanki, formula e'tiborga olinsa,7-8-xossadan bo'lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning uchun faqat 8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko'ra,tengliklarga, bulardan csa bo'lgani uchun tenglikka ega bo'lamiz. Oxirgi tenglikning har ikki tomonidagi daraja koeffitsiyentlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan formulani hosil qilamiz.Albatta, yuqoridagi uch xossa boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin.Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.2-misol. Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n nafar o'g'il va m qiz boladan tashkil topgan talabalar guruhidan talaba tanlash zarur bo'lsin. talabalardan talabani xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.Boshqa tomondan olib qaraganda, talabalardan iborat to'plamdan tanlanadigan barcha elementli qism to'plamlarni ularning tarkibidagi o'g'il bolalar soniga qarab, sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor.Tarkibida o'g'il bola bo'lgan elementli qism to'plamni oldin xil usul bilan tanlab,keyin qizlarni xil usullardan birontasi yordamida tanlash mumkin. Demak, tarkibida s o'g'il bola bo'lgan talabadan iborat qism to'plamlar soni, ko'paytirish qoidasiga asosan, songa tengdir. Noldan gacha bo'lgan barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalar hosil qilgan holda bu kombinatsiyalarga mos ko'paytmalarni yig'ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz.

Binomial koeffitsiyentlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash mumkin. Binomial koeffitsientlarni shakllantirish uchun tartibga solish mumkin Paskal uchburchagi, unda har bir yozuv yuqoridagi ikkitaning yig'indisi.Ikkinchi kuchga qadar binomial kengayishni vizualizatsiya qilish yilda matematika, binomial koeffitsientlar ijobiydir butun sonlar kabi sodir bo'ladi koeffitsientlar ichida binomiya teoremasi. Odatda binomial koeffitsient butun juftlik bilan indekslanadi va yozilgan.Bu koeffitsient k muddat polinom kengayishi ning binomial kuch , va u formula bilan berilgan.Masalan, n ning to'rtinchi kuchi bu va binomial koeffitsientning koeffitsienti raqamlarni tartibga solish uchun ketma-ket qatorlarda deb nomlangan uchburchak qatorni beradi. Paskal uchburchagi, qoniqarli takrorlanish munosabati.Binomial koeffitsientlar matematikaning ko'plab sohalarida va ayniqsa, uchraydi kombinatorika. Belgisi odatda "deb o'qiladin tanlang "chunki bor (tartibsiz) kichik to'plamni tanlash usullari sobit to'plamidan elementlar n elementlar. Masalan, bor dan 2 ta elementni tanlash usullari ya'ni va Binomial koeffitsientlarni umumlashtirish mumkin har qanday murakkab raqam uchun k ≥ 0, va ularning ko'plab xususiyatlari ushbu umumiy shaklda saqlanib qolishda davom etmoqda.Ko'pgina kalkulyatorlarda C yozuv chunki ular uni bitta qatorli displeyda namoyish etishlari mumkin. Ushbu shaklda binomial koeffitsientlar osongina taqqoslanadi -ning o'zgarishi nsifatida yozilgan , va boshqalar uchun natural sonlar (0 qo'shilishi uchun olingan) va , binomial koeffitsient deb belgilash mumkin koeffitsient ning monomial Xk ning kengayishida . Xuddi shu koeffitsient ham paydo bo'ladi (agar k ≤ n) ichida binomiya formulasi (har qanday element uchun amal qiladi x, y a komutativ uzuk), bu "binomial koeffitsient" nomini tushuntiradi.Ushbu raqamning yana bir paydo bo'lishi kombinatorikada bo'lib, u tartibni inobatga olmasdan yo'llarning sonini beradi ob'ektlar orasidan tanlanishi mumkin ob'ektlar; rasmiy ravishda, soni -element pastki to'plamlari (yoki -kombinatsiyalar) ning - elementlar to'plami. Ushbu raqamni hisoblash uchun quyidagi formulalardan mustaqil ravishda, birinchi ta'riflardan biriga teng deb qarash mumkin: agar har birida n kuch omillari biri vaqtincha vaqtni belgilaydi X indeks bilan men (1dan boshlab ishlaydi gacha), keyin har bir kichik to'plam indekslar kengayishdan keyin o'z hissasini qo'shadi va natijada ushbu monomialning koeffitsienti bunday kichik to'plamlarning soni bo'ladi. Bu, ayniqsa, buni ko'rsatadi har qanday natural sonlar uchun natural son va . Binomial koeffitsientlarning ko'plab boshqa kombinatsion talqinlari mavjud (masalan, javob binomial koeffitsient ifodasi bilan berilgan muammolarni hisoblash), masalan, hosil bo'lgan so'zlar soni bitlar (0 yoki 1 raqamlari), ularning yig'indisi tomonidan berilgan , yozish usullari soni qaerda har biri amen manfiy bo'lmagan butun son tomonidan berilgan . Ushbu talqinlarning aksariyati hisoblashga teng ekanligi osongina ko'rinadi -birlashmalar.

Binomial koeffitsientlar Qiymatini hisoblash uchun bir necha usul mavjud aslida binomial quvvatni kengaytirmasdan yoki hisoblamasdan -birlashmalar.Formula {1, 2, 3, ..., to'plamni ko'rib chiqishdan kelib chiqadi } va alohida hisoblash (a) va - ma'lum bir elementni o'z ichiga olgan element guruhlari, aytaylik "men", har bir guruhda (beri"men"allaqachon har bir guruhda bitta joyni to'ldirish uchun tanlangan, biz faqat tanlashimiz kerak - qolganlardan (b) barcha k"o'z ichiga olmaydigan guruhlar"men"; bu mumkin bo'lgan barcha narsalarni sanab beradi k-birlashmalari n elementlar. Shuningdek, bu hissalarni kuzatib borishdan kelib chiqadi X yilda Nol bo'lgani kabi yoki yilda ta'rifni qo'shish uchun yuqoridagi chegaralardan tashqariga chiqarishi mumkin bo'lganda ham yoki . Keyinchalik bu rekursiv formulaning tuzilishiga imkon beradi Paskal uchburchagi, nollar yoki ahamiyatsiz koeffitsientlar bo'ladigan oq bo'shliqlar bilan o'ralgan.Multiplikatsion formula Ayrim binomial koeffitsientlarni hisoblashning yanada samarali usuli formulada keltirilgan bu erda birinchi kasrning numeratori a sifatida ifodalanadi tushayotgan faktorial kuchBinomiy koeffitsientlarning kombinatorial talqini uchun ushbu formulani eng oson anglash mumkin. Nomerator ketma-ketlikni tanlash yo'llarini beradi to'plamidan tanlash tartibini saqlab qolgan alohida ob'ektlar ob'ektlar. Mahrum qiluvchi bir xil aniqlaydigan aniq ketma-ketliklar sonini hisoblaydi -tartibga e'tibor berilmaganda kombinatsiya.Binomial koeffitsientning nisbatan simmetriyasi tufayli va − , mahsulotning yuqori chegarasini yuqorisidan kichikiga o'rnatish orqali hisoblash optimallashtirilishi mumkin va − .

Faktorial formulalar,va nihoyat, hisoblash uchun yaroqsiz bo'lsa-da, ko'pincha dalillarda va chiqindilarda ishlatiladigan ixcham shakl mavjud, bu tanishlardan takroriy foydalanishni ta'minlaydi faktorial funktsiyasi:qayerda ! ning faktorialligini bildiradi. Ushbu formula yuqoridagi multiplikativ formuladan numerator va maxrajni ko'paytirish orqali kelib chiqadi (n − k)!; Natijada u raqamlovchi va maxrajga xos bo'lgan ko'plab omillarni o'z ichiga oladi. Bu aniq hisoblash uchun kamroq amaliy (agar shunday bo'lsa) k kichik va n katta), umumiy omillar bekor qilinmasa (xususan, faktorial qiymatlar juda tez o'sib borishi sababli). Formulada multiplikativ formuladan unchalik aniq bo'lmagan simmetriya mavjud (garchi bu ta'riflardan bo'lsa ham) bu yanada samarali multiplikativ hisoblash tartibiga olib keladi. Dan foydalanish tushayotgan faktorial yozuvlar,Umumlashtirish va binomial qatorga ulanish Multiplikatsion formula binomial koeffitsientlarning ta'rifini kengaytirishga imkon beradi[3] almashtirish bilan n o'zboshimchalik bilan raqam bilan a (salbiy, haqiqiy, murakkab) yoki hatto har qanday element komutativ uzuk unda barcha musbat tamsayılar teskari bo'ladi:Ushbu ta'rif bilan binomial formulaning umumlashtirilishi mavjud (o'zgaruvchilardan biri 1 ga o'rnatilgan bo'lsa), bu hali ham binomial koeffitsientlar:Ushbu formula barcha murakkab sonlar uchun amal qiladi a va X bilan |X| <1. Shuningdek, uni identifikator sifatida talqin qilish mumkin rasmiy quvvat seriyalari yilda X, bu erda u haqiqatan ham doimiy koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan quvvat seriyasining ixtiyoriy kuchlarini ta'riflashi mumkin; Gap shundaki, ushbu ta'rif bilan biz kutgan barcha identifikatorlar mavjud eksponentatsiya, ayniqsa,agar a manfiy bo'lmagan butun son , keyin barcha shartlar k > n nolga teng, va cheksiz qator cheklangan yig'indiga aylanadi va shu bilan binomial formulani tiklaydi. Biroq, ning boshqa qiymatlari uchun amanfiy tamsayılar va ratsional sonlarni o'z ichiga olgan qator haqiqatan ham cheksizdir.

Paskal uchburchagining vertikal holda joylashtirilgan 1000-qatori, koeffitsientlarning o'nli raqamlari kulrang ko'lamda tasvirlangan, o'ng tomonga yo'naltirilgan. Rasmning chap chegarasi taxminan binomial koeffitsientlar logarifmasi grafigiga to'g'ri keladi va ularning hosil bo'lishini aks ettiradi log-konkav ketma-ketligi.