| P ~
Ak chceme odhadnúť hodnotu energie základného stavu, dosadíme do výrazu pre energiu oscilátora za p hodnotu hybnosti typickej pre tento stav, t. j. p ~ ħ/2L a za x dosadíme typickú hodnotu súradnice, t. j. L. Takto dostaneme
(12)
kde prvý člen odpovedá kinetickej energii (ale vďaka vzťahu neurčitosti sme ho mohli vyjadriť pomocou typických rozmerov vlnovej funkcie) a druhý člen odpovedá potenciálnej energii. Energia základného stavu je najmenšia energia, ktorú pri rešpektovaní princípu neurčitosti môže sústava nadobudnúť. Možno preto očakávať, že to bude minimálna hodnota pravej strany v (12). Hodnota L v tomto minime bude charakterizovať rozmery vlnovej funkcie základného stavu.
Ľahko zistíme, že výraz (12) nadobúda minimálnu hodnotu pre
a príslušná energia je
Zhodou okolností sme dostali presný výsledok, ako sa o tom ešte presvedčíme presným riešením neskôr v článku 4.6. Náš postup v skutočnosti nemohol zaručiť viac ako veľmi približný odhad výsledku a to, že dal celkom presný výsledok, je dielom (trocha regulovanej) náhody. Vráťme sa ešte na chvíľu ku vzťahu (12). (Pozri tiež obr. 1.16.) Prvý člen odpovedá kinetickej a druhý potenciálnej energii. S rastúcim L potenciálna energia rastie. Z hľadiska potenciálnej energie je výhodné, aby vlnová funkcia bola lokalizovaná v čo najmenšej oblasti okolo začiatku. Intuitívne je to zrejmé, lebo je to lokalizácia okolo klasickej rovnovážnej polohy x = 0. Prvý člen vo vzťahu (12) odpovedá kinetickej energii, jeho hodnota rastie pri zmenšujúcom sa L. To je prejav vzťahu neurčitosti. Ak chceme stav viac lokalizovať (t. j. zmenšiť x = 2L), môžeme to urobiť iba za cenu zvýšenia neurčitosti p = 2P a teda za cenu zvýšenia kinetickej energie častice. Vlnová funkcia sa „bráni“ proti stláčaniu. Tu vidíme ešte raz príčinu toho, prečo základný kvantovomechanický stav neodpovedá klasickej predstave o častici v kľude
v rovnovážnej polohe.
Obr. 1.16
Z podobných príčin elektróny v atóme „nespadnú“ na jadro – vzťah neurčitosti rieši problém stability atómov, ktorý klasická fyzika nevedela vysvetliť. Elektrón v jadre by bol silne lokalizovaný a na takéto stlačenie atómu by bolo treba vynaložiť prácu, ktorá by bola oveľa väčšia ako príslušný pokles potenciálnej energie.
Odporúčame čitateľovi, aby sa ako cvičenie pokúsil zo vzťahu neurčitosti odhadnúť energiu základného stavu atómu vodíka a polomer atómu vodíka v tomto stave.
|
