1 elementárna kvantová mechanika

Odčítaním oboch rovníc a násobením 4 máme

Výrazy 2/', 2/ sú práve vlnočty uvažovaných vĺn, takže máme

x . k = 2 (4)

kde k = k' − k = 2/' − 2/. Výraz k nám ukazuje zhruba rozsah intervalu vlnových vektorov potrebných na vytvorenie vlnového balíka s rozmerom x. Situáciu možno trocha „zlepšiť“ tým, že by sme čo najvhodnejšie zvolili tvar vlnového balíka. Ale ani tak by sa nám nepodarilo znížiť hranicu súčinu x k pod hodnotu 1/2.

Nerovnosť (3) nazývaná tiež vzťahom neurčitosti má v kvantovej mechanike zásadný význam. Ukazuje, že pojem stav sústavy bude treba v kvantovej mecha­nike chápať podstatne odlišne od jeho významu v klasickej mechanike. Ukazuje tiež, že bude treba modifikovať klasické predstavy o tom, čo sú to fyzikálne veli­činy a ich hodnoty v danom stave. K týmto problémom sa neskôr vrátime a pre­diskutujeme ich podrobnejšie. Teraz si len ukážme, že vzťah neurčitosti (3) je naozaj splnený v prípadoch, s ktorými sme sa doteraz zaoberali a kde už poznáme príslušné vlnové funkcie.

Uvažujme opäť elektrón viazaný na úsečku. Vlnovú funkciu (11.8) prislúcha­júcu n-tému stacionárnemu stavu v čase t = 0 zapíšeme v tvare (využijeme vzťah sin  = (e^i − e^−i)/(2i))

Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že vlnovú funkciu už máme vyjadrenú ako superpozíciu rovinných vĺn typu (1). Nie je to však pravda. Vo vzťahu (1) vystupujú rovinné vlny definované na celej osi x, zatiaľ čo vlny vystupujúce vo vzťahu (5) sú nenulové len pre 0 < x < L. Ak by sme vlnovú funkciu (5) vyjadrili naozaj v tvare (1) bola by príslušná funkcia c(k) nenulová v celom intervale (−∞,∞). Ak však uvažujeme iba prípad veľkých hodnôt n, bude na intervale (0, L) uložených mnoho vĺn, vlnová dĺžka bude preto pomerne dobre definovaná. V rozklade (1) budú preto veľké koeficienty c(k) iba v okolí hodnôt k = k_n, k = −k_n. Neurčitosť k môžeme potom približne odhadnúť ako k = k_n − (−k_n) = 2k_n. Neurčitosť polohy je približne x = L. Dostaneme tak²²

x k = L2k_n = L(2n/L) = 2n (6)

Vzťah neurčitosti je teda splnený. Argument, ktorý sme použili platí len pre veľké n. Neurčitosti x, k však možno jednoducho odhadnúť i pre základný stav.

Podľa (7) a (8) môžeme očakávať, že v základnom stave elektrónu viazaného na úsečku budú mať rozhodujúcu úlohu hybnosti dané vzťahom

Dôležitý interval v priestore hybnosti potom bude

Odtiaľ opäť máme

x k ≈ 2ħ (11)

a vzťah neurčitosti (4) je splnený.

Poznamenajme hneď, že túto úvahu by sme mohli aj obrátiť a pokúsiť sa rádovo odhadnúť energiu elektrónu viazaného na úsečku zo vzťahu neurčitosti. Argument by vyzeral asi takto. Vieme, že pre elektrón viazaný na úsečku platí vzťah neurčitosti (11) (na pravej strane je neistý faktor rádovo rovný 1, ale to nás teraz netrápi). Preto budú v základnom stave dôležité hybnosti z intervalu
(−p, p), kde p je dané vzťahom (10). Pre typické hybnosti potom platí
p² ≈ ²ħ²/L² a pomocou (7) prídeme k odhadu energie základného stavu (8).

Vzťah neurčitosti je jednou z najhlbších myšlienok kvantovej mechaniky a aby sme si vytvorili istý kvalitatívny názor ako tento princíp „pracuje“, prediskutujeme tu niekoľko veľmi jednoduchých príkladov.

Najprv sa vrátime k základnému stavu elektrónu viazanému na úsečku dĺžky L. Energiu takéhoto stavu môžeme písať v tvare

Hneď vidno, že energia sa zväčšuje, keď zmenšujeme L. Na „stlačenie“ elektrónovej vlnovej funkcie treba teda konať prácu. Dôvod na to je jednoduchý. Ak zmenšujeme rozmer vlnového balíka, zmenšujeme aj dĺžky rovinných vĺn, ktoré sa zúčastňujú na vytvorení balíka. Zmenšenie vlnovej dĺžky ale znamená zväčšenie kinetickej energie. Kvantový stav (vrátane stavu s najnižšou energiou) nemožno teda chápať ako niečo statického, ale ako dynamický stav, ktorý má svoju kinetickú energiu. Čím sú rozmery sústavy menšie, tým je kinetická energia väčšia. Kvantový stav sa takto „bráni stláčaniu“. V tomto tkvie napokon príčina stabilnosti atomárnych sústav.

Aby sme to videli na realistickejšom príklade, všimnime si bližšie základný stav lineárneho harmonického oscilátora.

Celková energia oscilátora je daná ako súčet kinetickej a potenciálnej energie

x . p ~ ħ/2