|
Misol. Ushbu
tenglamalar sistemasi Kramerning (2) formulasi bilan yechilsin.
Yechish
|
| bet | 15/45 | | Sana | 04.06.2024 | | Hajmi | 3,03 Mb. | | #260144 |
Bog'liq OL MAT 2011 1-QISMMisol. Ushbu
tenglamalar sistemasi Kramerning (2) formulasi bilan yechilsin.
Yechish. Noma`lumlar oldida turgan koeffitsentlardan tuzilgan asosiy determinantni tuzib, hisoblaymiz:
1)
So`ngra yordamchi determinantlarni ham hisoblaymiz:
2) 2)
3)
U holda Kramer formulasiga asosan tenglamalar sistemasini yechimini hosil qilamiz:
6-MА’RUZА
KOMPLEKS SONLAR
REJA:
Kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi.
Kompleks sonlar xossalari.
Kompleks sonining trigonometrik shakli.
Maqsad: Kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi xaqida tushuncha berish. Kompleks sonining algebraik ko’rinishi, qo’shma kompleks soni, kompleks sonning moduli kabi tushunchalar berish va ularning xossalarni o’rganish. Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometrik shaklini berish. Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarining ko’paytmasi va teskari son ko’rinishlarini topish.
Metodik ta’minot: a) adabiyot: [1] (95-98 b.b.), [2] (150-157 b.b.), [3]( 164-167 b.b.)
b) ShEHM, proektor.
Oldingi ma’ruzalarda natural sonlar sistemasi butun sonlar sistemasigacha, butun sonlar sistemasi esa ratsional sonlar sistemasigacha ketma-ket kengaytirildi. Natijada qo’shish, ayirish, ko’patirish va noldan farqli songa bo’lish amallarga nisbatan yopiq bo’lgan ratsional sonlar maydonini hosil qildik. Bundan keyin norma tushunchasi orqali ifodalanadigan uzluksizlik xossasini kiritib xaqiqiy sonlar sistemasini qurdik. Shunga qaramasdan, maktabdan ma’lumki, x2 +1 = 0 algebraik tenglama xaqiqiy echimlarga ega emas. Bu esa shunday tenglamalarni echimlarini o’z ichiga olgan xaqiqiy sonlar maydonining kengaytmasini qo’rish masalasini dolzarb masalaga aylantirdi.
«Kompleks son» terminini ilk bor L.Karno 1803 yilda kiritgan. Bundan keyin bu termin Gauss (1828) o’zining asarlarida qo’lladi.
Kompleks sonlarini ital’yan matematiklar bo’lmish Kardano (1545) va Bombelli (1572) o’zlarining izlanishlarida ishlatish boshladilar.
Bombelli kompleks sonlar ustida algebraik amallarni formal ravishda asoslagan.
Kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi.
Ta’rif. Kompleks sonlar sistemasi deb qo’yidagi aksiomalarga buysina-digan (2,2,1,0,0,0) turdagi S= (S , +, , ’ 0,1, i) algebraga aytiladi :
1. R C ;
2. ”+”, ”” amallar kommutativ va assotsiativ binar amallardir;
3. ”” amal ”+” amalga nisbatan distributiv.
4. 0 - + amaliga nisbatan neytral element
5. 1 – ”” amaliga nisbatan neytral element
6. S to’plamdagi sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari R to’plamdagi ”+”, ”” amallar bilan ustma-ust tushadi
7 z C - z C z+ (-z)=0
8 z C g’ {0} z -1 C zz -1 =1
9 i2 +1=0
10. C - minimal, ya’ni u 1-9 shartlarni qanoatlantiradigan xos qism to’plamga ega emas.
Ta’rifdan ko’rinib turibdiki, C - maydon bo’ladi. Ushbu maydonni biz kompleks sonlar maydoni, uning elementlarini esa kompleks sonlar yoki sonlar deb ataymiz.
Teorema. C - R maydon bilan ustma-ust tushmaydi.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz: C = R bo’lsin. Xususiy holda i R.
R maydonning kerakli aksiomalarni eslatamiz.
a) Tartib munosabatning xossasi: ixtiyoriy x R va u R uchun yoki x < u yoki u< x yoki x = u munosabatlar bajariladi
b) Agar x0 x z < y z (ko’paytirish amalini monotonligi).
a) shartga ko’ra i R uchun yoki 0 < i yoki i < 0 yoki 0 = i munosabatlar bajariladi
Agar 0 < i bo’lsa, b) aksiomada x,y, z o’rniga mos ravishda 0, i , i sonlarini qo’yib
0= 02 < i i = i2 = -1 ziddiy tengsizlikni hosil qilamiz.
Agar i < 0 bo’lsa, b) aksiomada x,y, z o’rniga mos ravishda i , 0 , - i sonlarini qo’yib
i i = - i2 = 1<0 ziddiy tengsizlikni hosil qilamiz.
i = 0 holi o’z-o’zidan ravshan .
+osil bo’lgan ziddiyatdan teoremamiz rostligi kelib chiqadi.
Kompleks sonlar xossalari.
Teorema. Ixtiyoriy z kompleks son z=a+bi ko’rinishda yagona usulda ifodala-nadi (bu erda a, b – xaqiqiy sonlar) .
Isbot. Biz z=a+bi ko’rinishdagi barcha kompleks sonlar to’plamini M orqali belgilaymiz. M to’plamning ixtiyoriy a+bi va s+di elementlari uchun qo’shish va ko’paytirish amallarini (a+bi)+(s+di) = (a+s)+(b+d)i; (a+bi)(s+di)=(ac-bd)+(ac+bd)i tengliklar yordamida kiritsak 1-9 - aksiomalarni bajarilgani bevosita tekshirish mumkin. Demak, 10 -aksiomaga ko’ra M=S.
Yagonalikni isbotlash uchun a+bi=s+di tenglikni olamiz.
2-3 - aksiomalarga ko’ra, a-s=(b-d)i tenglikni hosil qilamiz. Agar b d bo’lsa, u holda ushbu tenglikdan i=(b-d)/ (a-s) tenglikka ega bo’lamiz, ya’ni i – xaqiqiy son.
Shu ziddiyatdan yagonalik kelib chiqadi.
Ta’rif. z= a+bi, a, b R., ko’rinish kompleks sonining algebraik shakli deyiladi. a va b sonlar mos ravishda z= a+bi kompleks sonining mos ravishda xaqiqiy va mavhum qismlari deb yuritilib, ular uchun a=Re z, b=Im z belgilash qabul qilingan.
Ta’rif. z= a+bi, a, b R., songa qo’shma son deb = a-bi ko’rinishdagi komp-leks soniga aytiladi.
3-teorema [2] . Ixtiyoriy z , z1 , z2 kompleks sonlar uchun qo’yidagi tengliklar o’rinli
a) ; b) ; v) ; g) z= z R.;
e) z =(Re z)2+(Im z)2 ; j) z+ =2Re z; z) z - =2 Im z
Ta’rif. z= a+bi, a, b R., sonning moduli deb | z |= ko’rinishdagi songa aytiladi.
Teorema [2] . Ixtiyoriy z , z1 , z2 kompleks sonlar uchun qo’yidagi munosabatlar o’rinli
a) | z1 z2 | | z1 | + | z2 |;
b) | z | =0 z =0;
v) | | z1 | | z2 | | | z1 + z2 |
5.3. Xulosa. Ushbu ma’ruzada kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi xaqida tushunchaga ega bo’ldik. Ushbu nazariyani ziddiyatsizligi [3] da isbotlangan. 2-teore-maning isbotida ikkita z1 =(a+bi) va z2=(s+di) sonlarning yig’indisi va ko’paytmasi uchun z1 + z2=(a+s)+(b+d)i va z1 z2 = (ac-bd)+(ac+bd)i formulalar o’rinli bo’lgani ta’kidlandi. Biz shu formulalarni eslab qolishimiz lozim.
6.Tayanch tushunchalar: kompleks soni, algebraik shakl, qo’shma kompleks soni, kompleks sonning moduli.
Nazorat savollari.
Kompleks sonlar aksiomatikasini bayon eting.
Kompleks sonlar sistemasi xaqiqiy sonlar sistemasi bilan ustma-ust tushadimi? Javobingizni asoslab bering.
Komleks sonining algebraik ko’rinishi xaqida teoremani isbot qiling.
Kompleks sonining moduli ta’rifini bering va xossalarini keltiring.
Kompleks soniga qo’shma kompleks sonining ta’rifini bering va xossalarini keltiring.
Algebraik ko’rinishda berilgan ikkita kompleks son yig’indisi va ko’paytmasi qanday ifodalanadi?
Oldingi ma’ruzada biz algebraik shaklda berilgan kompleks sonlar uchun ko’paytirish formulasini keltirdik. Shuni ta’kidlash lozimki, shu formula murakkab ko’rinishga ega, shuning uchun bir nechta kompleks sonlar uchun ko’paytirish, yoki biror sonni darajaga ko’tarish kabi amallarga sodda formulani topish dolzarb masala hisoblanadi. Bunday ishda bizga kompleks sonining trigonometrik shakli yordam beradi. Bu shaklni ta’riflashda kompleks sonining moduli va argumenti tushunchalari ishtirok etadi. Modul tushunchasini ilk bor Argan (1814) va Koshi (1821), argument tushunchasini esa Koshi (1847) kiritganlar. Kompleks sonini trigonometrik shaklda ilk bor Eyler va Dalamber tomonlaridan ifodaladilar.
Kompleks sonining geometrik tasviri.
z= a+bi, a, b R., kompleks sonini tekislikdagi dekart koordinatalar sistemasida (a, b) koordinatalarga ega bo’lgan M(a,b) nuqta yoki uchi shu no’qtada bo’lgan radius-vektor bilan tasvirlash qabul qilingan. Ushbu sistemada abstsissa o’qi xaqiqiy o’q, ordinata o’qi esa mavhum o’q deb yuritiladi. Shunday tasvir kompleks sonining geometrik tasviri deyiladi.
Ravshanki, geometrik tasvir kompleks sonlar to’plami va tekislik orasida biektiv akslantirishni o’rnatadi. Adabiyotlarda shunday biektsiya kompleks sonlarning geometrik interpretatsiyasi deyiladi.
Kompleks sonining trigonometrik shakli.
Oldingi ma’ruzada zh a+bi, a, b R., sonning modulining ta’rifi hamda Pifagor teoremasiga ko’ra radius-vektor r = uzunligi bilan ustma-ust tushadi.
Nolmas z= a+bi kompleks sonini z= r( ) ko’rinishda yozish mumkin. sos = , sin = tengliklarni bir vaqtda qanoatlatiradi-gan son z= a+bi, a, b R. sonning argumenti deyiladi va Arg z orqali belgilanadi.
Ta’rif. z = r (cos + i sin) ifoda z kompleks sonining trigonometrik shakli deyiladi.
z1 = r1 (cos1 + i sin1), z2 = r2 (cos2 + i sin2 ) sonlarining ko’paytmasini topaylik.
z1 z2 = r1 r2 ((cos1 cos2 - sin1 sin2 )+ i (cos1 sin2 + sin1cos2 )) =
= r1 r2 (cos(1 +2 )+ i sin(1+2 )) bo’lgani uchun
|z1 z2| =|z1 | |z2| va Arg (z1 z2)= A rg z1 + Arg z2 (1)
tengliklar o’rinli bo’ladi. Demak, kompleks sonlarni ko’paytirganda modullar ko’paytirilib, argumentlar qo’shiladi.
7-MА’RUZА
KOMPLEKS SONNI DARAJAGA KO‘TARISH VA
ILDIZ CHIQARISH.
REJA:
Muavr formulasi
Kompleks sonidan kvadrat ildiz chiqarish.
Kompleks sonidan n-darajali ildiz chiqarish.
Birning n darajali ildizlarining tsiklik gruppasi.
Maqsad: Muavr formulasini qullab, kompleks sonlarining ildizlarini to’plamini qurish usulini va ushbu to’plamning algebraik xossalarini bayon kilish. Birning n darajali ildizlarining tsiklik gruppasini kiritish .
Metodik ta’minot: a) adabiyot: [1] (108-112 b.b.), [2] (169-173 b.b.),
b) ShEHM, proektor.
Matematik induktsiya printsipi yordamida (1)- qoida bir nechta ko’paytuvchi-larga ham davom ettirish mumkin, ya’ni zk h rk (cos k + i sin k ), k=1,2,…,n, n N , bo’lsa, u holda qo’yidagi formula o’rinli:
z1 z2 …zn= r1 r2 …rn (cos( 1 + 2 +… n )+ i sin( 1 + 2 +… n ) ) (2)
(2) tenglikdan z1 =z2 =…=zn=z= (cos + i sin ) hususiy holida Muavr formulasi deb nomlangan
(cos + i sin ) n = cos n + i sin n (3)
formulaga ega bo’lamiz.
(cos + i sin ) –1=cos(-) + i sin(- ) tenglikdan Muavr formulasi ixtiyoriy butun n uchun o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Muavr formulasidan |z1 / z2| =|z1 | / |z2| va Arg (z1 /z2)= A rg z1 – A rg z2 tengliklar ham kelib chiqadi.
Xulosa . Muavr formulasi maktab matematikasiga muhim tadbiqlarga ega. Masalan, u cos(n) va sin(n) larni cos va sin orqali ifodalash kabi masalalarni echishda yordam beradi.
Shu masalalarni echish uchun Muavr formulasining chap tarafini N’yuton-Xayyom formulasi yordamida ifodalaymiz:
(cos + i sin) n = ,
so’ng uni (3) ni o’ng tomoniga tenglashtirib, kerakli formulalarni hosil qilamiz.
Masalan (cos + i sin) 3 = cos3+3i cos2 sin -3 cos sin2 - i sin3 bo’lgani uchun
cos(3)= cos3 -3 cos sin2; sin(3)=3cos2 sin - sin3
formulalar o’rinli bo’ladi.
Tayanch tushunchalar: kompleks sonining geometrik tasviri, kompleks tekislik, xaqiqiy o’q, mavhum o’q, kompleks sonining trigonometrik shakli, komp-leks sonining argumenti, Muavr formulasi.
Nazorat savollari.
Kompleks sonining geometrik tasviri qanday hosil bo’ladi?
Kompleks sonining trigonometrik shakli qanday ko’rinishga ega?
Kompleks sonining argumenti deb nimaga aytiladi?
Trigonometrik shaklda berilgan bir nechta kompleks sonlarini ko’paytirsa , natijada nima hosil bo’ladi?
Muavr formulasini keltirib chiqaring.
cos(n) va sin(n) larni cos va sin orqali ifodalash kabi masalalarni echish jarayonini bayon qiling.
Maktab kursida tenglama o’tilgan ( bu erda x va a – xaqi-qiy sonlar, daraja esa butun). Ushbu tenglamani echimi x sonni ildizi deyilardi. Kompleks sonlar maydonida ham shunga o’hshash ta’rif kiritish mo’mkin.
Ta’rif. w kompleks soni z kompleks sonining n darajali ildizi deyiladi, agar
(1)
tenglik bajarilsa.
Kompleks sonidan kvadrat ildiz chiqarish.
Masalan, n = 2 holda z = a + bi algebraik ko’rinishga ega bo’lsin. (1) tenglamani echimini w= x + iy ko’rinishda izlaymiz.
tenglama x2-y2 = a ; 2xy = b sistemaga ekvivalentligini ko’rsatish mumkin.
Shu sistemani echib, talab qilingan ildizlar ko’rinishini topamiz:
w1,2 = .
Kompleks sonidan n-darajali ildiz chiqarish.
Agar daraja ikkidan kattarok bo’lsa, u holda (1) tenglamani xuddi n=2 holiga o’hshatib echish mumkin. Ammo ushbu usul yaxshi samara bermaydi. Shuning uchun ham biz kompleks sonlarining xossalaridan fodalanib, (1) – tenglamani echimini topishda yahshi samara beradigan usulni vujudga keltirishga kirishishimiz kerak. Ushbu ishda bizga Muavr formulasi yordam beradi.
Biz z sonini z = r (cos + i sin) trigonometrik shaklida yozib w sonni
w = (cos + i sin) trigonometrik shaklda izlaymiz.
Ushbu holda (1)- tenglikni
n (cos + i sin)n = r (cos + i sin) (2)
ko’rinishda yozsa bo’ladi.
(cos + i sin)n = cos(n) + i sin(n) Muavr formulasidan foydalanib, (2) tenglamani
(n = r) (cos(n)= cos) (sin(n)= sin)
tenglamalar sistemasiga keltiramiz:
Demak, (1) tenglama qo’yidagi echimlarga ega
wk = (cos + i sin ), k Z (3)
(3) da k = 0,1,…, n-1 qabul qilamiz va (1) tenglamani mos bo’lgan n –ta echimini ajratamiz.
Ushbu echimlar turliligi ularni argumentlarining turliligidan bevosita kelib chikadi. Bundan tashkari trigonometrik funktsiyaning davriyligidan ws = wn+s tenglikni hosil kilamiz, bu erda s – ixtiyoriy butun son.
Demak, natijada qo’yidagi teorema isbotlandi.
Teorema. Ixtieriy noldan farkli z = r (cos + i sin) kompleks sonini aksariyat n-ta turli n-chi darajali ildizlari mavjud va ular
wk = (cos + i sin ), k=0,1,…,n-1 (4)
formulalar yordamida topiladi.
Birning n-darajali ildizlarining tsiklik gruppasi.
Ma’lumki 1 = cos0 + i sin0 . U holda (4) dan birning n- darajali ildizlari
wk = (cos + i sin ), k=0,1,…,n-1 (5)
formula yordamida aniqlanadi.
Ta’rif. Biror elementning darajalaridan iborat bo’lgan gruppa tsiklik gruppa deyiladi.
Teorema. Birning n- darajali ildizlari mul’tiplikativ tsiklik gruppani tashkil qiladi.
Isbot. Agar n =1 va n =1 bo’lsa, u holda () n = n n =1. Demak, birning n- darajali ildizlarining ko’paytmasi yana birning n- darajali ildizi bo’ladi.
1 n =1 tenglikdan bir soni birlik element bo’ladi. n =1 bo’lsa, (1/)n =1/n =1 tenglik o’rinli. Demak, birning n- darajali ildizining teskarisi ham birning n- darajali ildizi bo’ladi. Nihoyat, Muavr formulasidan
wk =(cos + i sin ) k = (w1 ) k, k=0,1,…,n-1,
formula kelib chiqadi. Demak birning n- darajali ildizlari mul’tiplikativ tsiklik gruppani tashkil etadi.
5.3. Xulosa. Ma’ruza shuni ko’rsatdiki, har bir kompleks soniga uning bi-rorta ildizini mos qo’yadigan akslantirish bir qiymatli bo’lmaydi. Ushbu hodisa xaqiqiy sonlar to’plamida uchramagan, kompleks maydonida esa ko’p uchraydi. Bu esa kompleks maydon holi uchun funktsiya tushunchasini kengrok ma’noda ko’rishga chorlaydi. Kompleks uzgaruvchili funktsiyalarni aksariyat barchasi bir qiymatli emas va shu funktsiyalar bilan yuqori kurslarda o’qitiladigan funktsiyalar nazariyasi fanida chuqurroq tanishamiz.
Tayanch tushunchalar: Kompleks sonining n-darajali ildizlari, birning n-darajali ildizlari, tsiklik gruppa, mul’tiplikativ gruppa.
Nazorat savollari
Kompleks sonining n-darajali ildizlari deb nimaga aytiladi?
Kompleks sonining kvadrat ildizlari qanday topiladi?
Kompleks sonining n-darajali ildizlari qanday?
Kompleks sonining n-darajali ildizlari soni qanchaga teng bo’ladi?
Birning n-darajali ildizlari ko’rinishini yozib bering.
Birning n-darajali ildizlari mul’tiplikativ tsiklik gruppani tashkil qilishini isbotlang.
|
| |
