Müstəvi fiqurun sahəsi
Tutaq ki, yuxarıdan əyrisi və aşağıdan əyrisi ilə və yanlardan və düz xətləri ilə hüdudlanmış müstəvi fiquru verilmişdir (şəkil 1).
Şəkil 1.
parçasını nöqtələri ( bölgüsü) ilə kiçik parçalarına ayıraq. və funksiyalarının parçasında ən kiçik və ən böyük qiymətlərini uyğun olaraq və ilə işarə edək. Hər bir parçasına uyğun iki düzbucaqlı qurmaq olar:
I. düz xətləri ilə hüdudlanmış düzbucaqlıları. Bu düzbucaqlılar cızıqlanmışdır və fiqurunun daxilində yerləşir.
II. düz xətləri ilə hüdudlanmış düzbucaqlıları. Bu düzbucaqlılar fiqurunun uyğun hissəsini öz daxilinə alır.
Birinci növ düzbucaqlıların sahələrinin cəmini
(1)
ilə və ikinci növ düzbucaqlıların sahələrinin cəmini
(2)
ilə işarə edək. bölgüsünün parametri olsun.
Tərif. (1) və (2) cəmlərinin şərtində bir-birinə bərabər olan limitləri varsa, həmin limitə fiqurunun sahəsi deyilir və ilə işarə olunur:
(3)
Sonlu sahəsi olan müstəvi fiqura kvadratlanan fiqur deyilir.
parçasında kəsilməyən və funksiyaları həmin parçada inteqrallanandır. Buna görə də
(4)
olar.
Əyri qövsünün uzunluğu
Tutaq ki, müstəvi əyrisi düzbucaqlı koordinat sistemində tənliyi ilə verilmişdir. parçasının ixtiyari bölgüsünə, əyri üzərində, koordinatları uyğun olaraq və olan nöqtələri uyğun olar (şəkil 1).
Bu nöqtələri ardıcıl olaraq düz xətt parçaları ilə birləşdirdikdə əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xətti alınır. Əyrinin vətərinin uzunluğunu ilə işarə edək. Onda əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xəttin uzunluğu
(1)
olar. Sınıq xəttin ən böyük tərəfinin uzunluğu olsun:
Tərif. əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xətt uzunluğunun şərtində sonlu limiti varsa, həmin əyriyə sonlu uzunluqlu əyri və
(2)
limitinə onun uzunluğu deyilir.
Hamar əyrisi üçün (yəni funksiyası və onun törəməsi parçasında kəsilməyən olduqda) (2) limiti var. Doğrudan da, və olduğunu nəzərə alsaq,
olar. Laqranj teoreminə əsasən
olduğundan (1) cəmi
şəklində yazılır. Bu ifadə parçasında kəsilməyən funksiyasının inteqral cəmidir. Buna görə də müəyyən inteqralın tərifinə əsasən
olar. Deməli, hər bir hamar əyrisi sonlu uzunluqlu əyridir və onun uzunluğu
(3)
düsturu ilə hesablanır.
İndi, fərz edək ki, hamar əyrisi
(4)
parametrik tənlikləri vasitəsilə verilmişdir və törəməsi parçasında heç yerdə sıfra çevrilmir. Onda
olduğunu nəzərə alaraq, (3) inteqralında əvəzləməsini ( ) aparmaq olar:
Buradan, (4) parametrik şəkildə verilmiş hamar əyrisinin uzunluğunu hesablamaq üçün
(5)
düsturu alınır.
|
