Əyri qövsünün uzunluğu
Tutaq ki, müstəvi əyrisi düzbucaqlı koordinat sistemində tənliyi ilə verilmişdir. parçasının ixtiyari bölgüsünə, əyri üzərində, koordinatları uyğun olaraq və olan nöqtələri uyğun olar (şəkil 1).
Bu nöqtələri ardıcıl olaraq düz xətt parçaları ilə birləşdirdikdə əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xətti alınır. Əyrinin vətərinin uzunluğunu ilə işarə edək. Onda əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xəttin uzunluğu
(1)
olar. Sınıq xəttin ən böyük tərəfinin uzunluğu olsun:
Tərif. əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xətt uzunluğunun şərtində sonlu limiti varsa, həmin əyriyə sonlu uzunluqlu əyri və
(2)
limitinə onun uzunluğu deyilir.
Hamar əyrisi üçün (yəni funksiyası və onun törəməsi parçasında kəsilməyən olduqda) (2) limiti var. Doğrudan da, və olduğunu nəzərə alsaq,
olar. Laqranj teoreminə əsasən
olduğundan (1) cəmi
şəklində yazılır. Bu ifadə parçasında kəsilməyən funksiyasının inteqral cəmidir. Buna görə də müəyyən inteqralın tərifinə əsasən
olar. Deməli, hər bir hamar əyrisi sonlu uzunluqlu əyridir və onun uzunluğu
(3)
düsturu ilə hesablanır.
İndi, fərz edək ki, hamar əyrisi
(4)
parametrik tənlikləri vasitəsilə verilmişdir və törəməsi parçasında heç yerdə sıfra çevrilmir. Onda
olduğunu nəzərə alaraq, (3) inteqralında əvəzləməsini ( ) aparmaq olar:
Buradan, (4) parametrik şəkildə verilmiş hamar əyrisinin uzunluğunu hesablamaq üçün
(5)
düsturu alınır.
|
