|
Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля
|
bet | 3/3 | Sana | 24.02.2024 | Hajmi | 400.54 Kb. | | #162053 |
Bog'liq Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов Без названия, Kompozisyon Konuları, resmi kelimeler (2), Дўстлик Йул харита шакли махалла зам хоким 2, Ergergherryjm6u, 1 ISLAM DINI, AQLIY XUJUM, 7670, Reja Nano o’lchamli yupqa qatlamlarning tuzilishi Nano o’lchaml, Mustaqil ishi 2023-yil mustaqil ish mavzulari yupqa qatlamlarnin, Fizika fanidan mustaqil ish, Optik kvant generatorlar(lazerlar), file (4), Презентация Microsoft PowerPoint Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля
Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:
Показатель степени
|
Биноминальные коэффициенты
|
00
|
|
|
|
|
|
C00C00
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
C01C10
|
|
C11C11
|
|
|
|
|
22
|
|
|
|
C02C20
|
|
C12C21
|
|
C22C22
|
|
|
|
33
|
|
|
C03C30
|
|
C13C31
|
|
C23C32
|
|
C33C33
|
|
|
⋮⋮
|
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
|
nn
|
C0nCn0
|
|
C1nCn1
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
Cn−1nCnn-1
|
|
CnnCnn
|
При натуральных nn такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:
Показатель степени
|
Биноминальные коэффициенты
|
00
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
22
|
|
|
|
|
|
11
|
|
22
|
|
11
|
|
|
|
|
|
33
|
|
|
|
|
11
|
|
33
|
|
33
|
|
11
|
|
|
|
|
44
|
|
|
|
11
|
|
44
|
|
66
|
|
44
|
|
11
|
|
|
|
55
|
|
|
11
|
|
55
|
|
1010
|
|
1010
|
|
55
|
|
1
|
|
|
⋮⋮
|
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
|
nn
|
C0nCn0
|
|
C1nCn1
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
……
|
Cn−1nCnn-1
|
|
CnnCnn
|
Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.
Доказательство формулы бинома Ньютона
Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:
коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле Cpn=Cn−pnCnp=Cnn-p, где р=0, 1, 2, …, nр=0, 1, 2, …, n;
Cpn=Cp+1n=Cp+1n+1Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
биномиальные коэффициенты в сумме дают 22 в степени показателя степени бинома, то есть C0n+C1n+C2n+...+Cnn=2nCn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n;
при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.
Равенство вида(a+b)n=C0n⋅an+C1n⋅an−1⋅b+C2n⋅an−2⋅b2+...+Cn−1n⋅a⋅bn−1+Cnn⋅bna+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn считается справедливым. Докажем его существование.
Для этого необходимо применить метод математической индукции.
Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:
Проверка справедливости разложения при n=3n=3. Имеем, что
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ab+ba+b2)(a+b)==(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
Если неравенство верно при n−1n-1, тогда выражение вида(a+b)n−1=C0n−1⋅an−1⋅C1n−1⋅an−2⋅b⋅C2n−1⋅an−3⋅b2+...+Cn−2n−1⋅a⋅bn−2+Cn−1n−1⋅bn−1a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1
считается справедливым.
Доказательство равенства(a+b)n−1=C0n−1⋅an−1⋅C1n−1⋅an−2⋅b⋅C2n−1⋅an−3⋅b2+...+Cn−2n−1⋅a⋅bn−2+Cn−1n−1⋅bn−1a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1, основываясь на 2 пункте.
|
| |