Shunday qilib, Q da bajariladigan kesimlar faqatgina uch xil bo’lishi mumkin.
1. Quyi sinf A da eng katta son yo’q, yuqori sinf B da eng kichik son bor
2. Quyi sinf A da eng kaatta son bor, yuqori sinf B da eng kichik son yo’q
3. Quyi sinf A da eng katta son yo’q, yuqori sinf B da eng kichik son yo’q.
1- va 2- hollarda A/B kesim biror ratsional q sonni aniqlaydi deymiz va q kabi belgilaymiz. 3- holda A/B kesim biror irratsional son α ni aniqlaydi deymiz va kabi belgilaymiz. Bu holda A va B sinflar orasida “chegaraviy” ratsional son yo’q, “chegaraviy” son rolini irratsional α soni o’ynaydi.
1- va 2- misollarda kesim ratsional son 7 tomonidan bajariladi, 3- misolda kesimni irratsional son bajaradi.Barcha ratsional va irratsional sonlar to’plami haqiqiy sonlar to’plami deylik, uni avvalgidek, R bilan belgilaymiz.
bo’lsin. Ravshanki A=A′ bo’lsa, u holda B=B′ bo’ladi va aksincha.
Ta’riflar. 1. Agar A=A′ bo’lsa va faqat shu holdagini α=β deyiladi. Shunday qilib, ikkita haqiqiy son teng bo’lishi uchun ular bajargan kesimlar ustma-ust tushishi zarur va yetarlidir.
2. Agar .
3. Agar . β<α bo’lsa va faqat shu holdagina α>β deyiladi. Demak, uchun ushbu α=β,α>β,α<β munosabatlardan faqat bittasi o’rinli bo’ladi.
Lemma. α,βєR va α>β bo’lsin. U holda bu sonlar orasida kamida bitta haqiqiy sonlar, jumladan ratsional sonlar bor.
Haqiqiy sonlar to’plamining uzluksizligi. Haqiqiy sonlar to’plami R ni bo’sh bo’lmagan va kesishmaydigan ikkita sinfga ajratamiz:
Agar R1 dagi har bir α soni R2 dagi har bir β sondan kichik bo’lsa, R ni bunday haqiqiy sonlar to’plamidagi kesim deyiladi.
Bu ma’nodagi kesimni bajaruvchi haqiqiy son R1 va R2 to’plamlar orasidagi chegaraviyson hamma vaqt ham mavjudmi?
Dedekind teoremasi.R dagi har qanday kesimni biror α haqiqiy son bajaradi. Bu α son:
1) yoki quyi sinf R1 da eng katta
2) yoki yuqori sinf R2 da eng kichik bo’ladi.
Haqiqiy sonlar to’plamining bu xossasi uning uzluksizligi deyiladi.
Haqiqiy sonlar ustida amallar. deylik. Agar barcha q1єR1 , q2єR1′ r1єR3 , r2єR2′ ratsional sonlar uchun q1+q2 ≤γ≤r1+r2 tengsizliklar o’rinli bo’lsa, γ haqiqiy son α va β sonlarning yig’indisi deyiladi. va γ=α+β kabi belgilanadi. Musbat haqiqiy sonlardan ildiz chiqarish, ularni logarifmlash, darajaga ko’tarish amallarini ham yuqoridagi kabi tariflash mumkin.
Dedekind nazaryasi bo’yicha aniqlangan haqiqiy sonlar to’plami, ularni ustida kiritilgan qo’shish, ko’paytirish amallari “>” munosabati haqiqiy sonlarning aksiomatik nazariyasidagi I-VI gruppa xossalariga ega ekanini isbotlash mukin.
