II-bob. Haqiqiy sonlarning turli nazariyalari
2.1. Haqiqiy sonlarning Kantor nazariyasi
Bu nazariya ratsional sonlarning fundamental ketma-ketligi tushunchasiga asoslangan.
Ta’rif. x1,….,xn…єQ bo’lsin. Agar Q dan olingan ixtiyoriy >0 soni uchun shunday natural son N() mavjud bo’lsaki, n>N( va ixtiyoriy pєN uchun bo’lsa {xn} ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik deyiladi.
Ma’lumki tengsizlik tengsizlikka ekvivalent. Demak {xn} fundamental ketma- ketlik bo’lsa, xn ning atrofiga ketma-ketlikning nomeri n dan katta bo’lgan barcha xn+1, xn+2… hadlari kelib tushadi, bu atrofdan tashqarida esa ketma-ketlikning faqat chekli sondagi elementlari bo’lishi mumkin. {xn} fundamental ketma-ketlik haqidagi yana bir geometrik tasavvur quyidagicha hosil qilinadi: x1,x2…,xn… sonlarni N da aniqlangan biror funksiyaning qiymatlari deylik. OY o’qida xn+Ɛ ,xn-Ɛ nuqtalardan OX ga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Koordinatalari (k,xk) bo’lgan nuqtalarni kesmalar yordamida birlashtira borsak, uchlarining koordinatalari (n,xn) ,(n+1,xn+1) n>N(Ɛ) bo’lgan kesmadan boshlab siniq chiziqning barcha bo’laklari y= xn+Ɛ , y=xn-Ɛ to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan yo’lakda yotadi. Ɛ ni yetarlicha kichik qilib olish hisobiga, bu yo’lak istalgancha tor qilinishi mumkin.
Hadlari ratsional sonlardan iborat bo’lgan fundamental ketma-ketliklar to’plami
Ф orqali belgilaylik. {xn} , {yn}єФ bo’lsin. Agar {xn-yn} ketma-ketlikning limiti
0 bo’lsa, {xn} , {yn} ketma-ketliklar teng kuchli deyiladi. Shunday qilib, agar bo’lsa, {xn} , {yn} ketma-ketliklar ekvivalent bo’ladi. Bu munosabat ekvivalentlik munosabatidir. Ekvivalantlik munosabati Ф ni kesishmaydigan sinflarga ajratadi. O’zaro ekvivalent bo’lgan barcha funksional ketma-ketliklar bitta sinfga tegishli deb hisoblaymiz. Masalan, {an}єФ va bo’lsa, limiti r ga teng bo’lgan barcha funksional ketma-ketliklar {an} olingan sinfga tegishli bo’ladi.
Xususan, shu sinfga r,r,r,r,r…,r,… ketma-ketlik ham tegishli bo’ladi, r,r,r…,r… ga ekvivalent bo’lgan barcha funksional ketma-ketliklar sinfini ratsional son r ni aniqlovchi sinf deymiz, bu sinfning vakili deganda biz, soddalik uchun r ni tushunamiz.
Agar Фє{an} ketma-ketlikning limiti ratsional son bo’lsa, bunday ketma-ketlik I tur ketma-ketlik deyiladi. Barcha I tur ketma-ketliklar to’plamini
Ф1 deylik. Agar Фє{an} ketma-ketlikning limiti ratsional son bo’lmasa, bunday ketma-ketlik II tur ketma-ketlik deyiladi. Barcha II tur ketma-ketliklar to’plamini Ф2 desak, .
Ta’rif. Barcha o’zaro ekvivalent ikkinchi tur ketma-ketliklar sinfi irratsional son deyiladi. Kantor nazariyasida haqiqiy son quydagicha ta’riflanadi: ratsional sonlarning o’zaro ekvivalent funksional ketma-ketliklarining sinfi haqiqiy son deyiladi. α haqiqiy sonni aniqlaydigan sinfi cl{an} deb belgilaymiz. Demak, har bir sinf cl{·} biror haqiqiy sonni ifodalaydi. Agar cl{·}єФ1 bo’lsa, u aniqlagan son ratsional , agar cl{·}єФ2 bo’lsa, u aniqlagan son irratsional sondir.
Xususan, α-ratsional son bo’lsa, α,α,…,α,α,α… ketma-ketlik Ф ga tegishli bo’lgani uchun, ratsional α ni aniqlovchi sinfni simvolik ravishda deb yozamiz.
Hadlari ratsional sonlardan iborat bo’lgan fundamental ketma-ketliklarning ba’zi xossalarini keltiraylik. Barcha bunday ketma-ketliklar to’plamini Ф bilan belgilagan edik. Yozuvchi qisqartirish uchun Ф dan olingan ketma-ketlikni deymiz.
Teorema. Har qanday Ф-ketma-ketlik chegaralangandir.
Isboti. {an}єФ bo’lsin, demak, har qanday 0<ƐєQ uchun shunday natural son N(Ɛ) mavjudki, tayin n0>N(Ɛ) va bo’ladi. Bu tengsizlikdan kelib chiqadi.
deylik, u holda bo’ladi. Teorema isbotlandi.
Teorema. {an}єФ va bo’lsin. U holda shunday musbat ratsional a son mavjudki, biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning barchi qolgan hadlari uchun va ushbu an>a yoki an<-a tengsizliklardan faqat bittasi bajariladi.
Isboti. Teorema shartiga binoan, barcha n>N(a) va vahda uchun kєN mavjudki bo’ladi. n0>N(a) tengsizlikni qanoatlantiruvchi n0 ni tanlaymiz va k ni shunday tanlaymizki, bo’lsin. dan n>N(a) uchun tengsizliklardan faqar bittasi bajariladi, aks holda {an} ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik bo’lmasdi. Teorema isbotlandi.
Teorema. {an} Ф-ketma-ketlik bo’lsin. Bu ketma-ketlikning chekli sondagi dastlabki hadlarini olib tashlash natijasida hosil bo’lgan ketma-ketlik {an} ga ekvivalent bo’ladi.
Isboti. {an} ning birinchi k ta hadini tashlab yuborib, {ak+n}, n=1,2,3,…, ni hosil qilamiz. {an}єФ bo’lgani uchun, va bo’ladi. Demak, Bu esa, ta’rifga ko’ra, degan so’z. Teorema isbotlandi.
Ф-ketma-ketlikning yuqorida keltirilgan xossalari haqiqiy sonlar ustida amallarni quyidagicha ta’riflash imkonini beradi. bo’lsin.
Ta’riflar. 1. α va β haqiqiy sonlar yig’indisi deb cl{an+bn} sinf bilan aniqlanadigan γ haqiqiy songa aytiladi va γ=α+β kabi yoziladi. Demak, γ=α+β yozuv cl{an+bn}=cl{an}+cl{bn} degan so’z.
2. α va β haqiqiy sonlar ayirmasi deb cl{an-bn} sinf bilan aniqlanadigan δ haqiqiy songa aytiladi va δ=α-β kabi yoziladi.
Shunday qilib, δ=α-β yozuv cl{an-bn}=cl{an}-cl{bn} ga teng kuchlidir.
Bu ta’riflardan ko’rinadiki, haqiqiy sonlar ustida yuqorida keltirilgan amallarning xossalari ratsional sonlar ustidagi mos amallarning xossalari kabi bo’ladi.
Barcha haqiqiy sonlar to’plamini R bilan belgilaymiz va uning tartiblanganligini ko’rsatamiz.
Agar biror X to’plamning ixtiyoriy ikkita x,y(x≠y) elementlari
1) > (<) munosabatlari bilan bog’langan bo’lsa,
2) x,y,zєX lar uchun x
Agar {an}єФ, va biror n0 nomerdan boshlab barcha n≥n0 uchun an>0(an<0) bo’lsa, cl{an} musbat (manfiy) haqiqiy sonni aniqlaydi deymiz.
α,βєR bo’lsin. Agar α-β musbat(manfiy) bo’lsa, α haqiqiy son β haqiqiy sondan katta(kichik) deyiladi va α>β(α<β) kabi yoziladi.
|
