|
Differensial tenglamalar sistemasi
|
| Sana | 30.01.2024 | | Hajmi | 229 Kb. | | #148307 |
Bog'liq (15)Differensial tenglamalar sistemasi
Differensial tenglamalar sistemasi
funksiyalarni topish kerak bo‘lsinki, ular
(1)
tenglamalar sistemasini qanoatlantirsin. Bunday differensial tenglamalar sistemasini normal deyiladi.
Sistemaning birinchi tenglamasini bo‘yicha differensiallab
tenglikni hosil qilamiz. larni (1) tengliklarni o‘ng tomonlari bilan almashtirib,
tenglamani hosil qilamiz. Hosil bo‘lgan tenglikni differensiallab, yuqoridagi ishni takrorlab,
tenglamani hosil qilamiz. Shu protsessni davom ettirib
tenglamani hosil qilamiz.
Shunday qilib,
(2)
sistemani hosil qilamiz. Bu sistemaning birinchi tenglamasidan larni va lar orqali ifodalab
(3)
Bu tengliklarni (2) sistemaning oxirgi tenglamasiga qo‘yib -tartibli
tenglamani hosil qilamiz. Bu differensial tenglamani yechib
yechimni topamiz. Bu yechimni marta differensiallab hosilalarni topamiz. Bu hosilalarni (3) tengliklarga qo‘yib
(4)
yechimlarni hosil qilamiz.
Misol. differensial tenglamalar sistemasini
yeching.
1) Birinchi tenglamani bo‘yicha differensiallab
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikka ifodalarni qo‘yib
yoki
(*)
tenglika ega bo‘lamiz.
2) Berilgan sistemaning birinchi tenglamasidan
(**)
ni topib (*) tenglamaga qo‘yib,
yoki
ikkinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamani yechamiz: uning xarakteristik tenglamasi
bo‘lib . Shuning uchun tenglamaning umumiy yechimi
dan bo‘yicha hosila olamiz:
Buni (**) tenglikka qo‘yib
yechimni topamiz.
Endi o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi
(5)
berilgan bo‘lsin.
Aniqlik uchun uchta no‘malum funksiyali sistemani qaraymiz:
(6)
Xususiy yechimni
(7)
ko‘rinishda izlaymiz. (7) tengliklarni (6) sistemaga qo‘yib,
tengliklarga ega bo‘lamiz. Har bir tenglikni ga bo‘lib, hamma hadlarni o‘ng tomonga o‘tkazib
(8)
bir jinsli oddiy tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Ma’lumki (8) sistema noldan farqli yechimlarga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni
(9)
(9) tenglama (6) sistemaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
1. Xarakteristik tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo‘lsa, ularga (7) yechim mos kelib, uning koeffitsientlari (8) sistemadan aniqlanadi. Demak (6) sistemaning umumiy yechimi
ko‘rinishda bo‘ladi.
2. Xarakteristik tenglama kompleks ildizlarga ega bo‘lgan holda, ularga mos xususiy yechimlar 12-§ dagi usul yordamida tuziladi.
|
| |
