Amaliy ish Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi vektorlar fazosida akslantirishga Bajardi: 052-21 guruh talabasi usmonov aziz
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA
KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
Amaliy ish
Mavzu: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi vektorlar fazosida akslantirishga
Bajardi: 052-21 guruh talabasi
USMONOV AZIZ
Reja
1Chioziqli tenglama nima?
2 Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va uning yechimi.
3.Xulosa
4 Adabiyotlar
.
1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va uning yechimi.
Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi.
Quyidagi
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1,
|
|
|
|
|
|
+ ... + a2 n xn = b2 ,
|
|
|
a21 x1 + a22 x2
|
|
|
|
... ... ... ... ... ...
|
|
|
|
|
|
a
|
x + a
|
x
|
+ ... + a
|
x
|
= b
|
(1)
|
|
|
m1 1
|
m 2 2
|
mn
|
n
|
m
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
sistemaga n noma’lumli m ta chiziqli
|
algebraik tenglamalar sistemasi (yoki
|
| |
soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi)
|
deyiladi. Bu yerda a11 , a12 ,...., amn
|
| |
sonlar (1)
|
sistemaning koeffitsiyentlari, x1,
|
x2 , …, xn lar
|
noma’lumlar, b1 , b2 ,...,bm
|
| |
sonlar esa ozod hadlar deyiladi.
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan
|
|
|
|
|
|
a11
|
a12
|
...
|
a1n
|
|
|
|
|
|
|
a
|
21
|
a
|
...
|
a
|
|
|
|
|
|
|
A =
|
22
|
|
2n
|
|
|
|
|
|
|
...
|
...
|
...
|
...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am 2
|
...
|
|
|
|
|
|
|
|
am1
|
amn
|
|
|
| |
matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Noma’lumlar
|
| |
vektorini
|
X = (x1 , x2 ,..., xn )T
|
ustun
|
vektor, ozod
|
hadlarni
|
B = (b1 ,b2 ,...,bm )T
|
ustun
|
|
vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin:
AX =B.
1-ta’rif. Agar 1 , 2 , , n sonlar x1 , x2 , , xn larning oʻrniga qoʻyilganda (1) sistemadagi tenglamalarni toʻgʻri tenglikka aylantirsa, bu sonlarga (1) sistemaning
|
yechimlari tizimi, deb aytiladi va X = ( 1 , 2 ,
|
, n )T
|
kabi belgilanadi.
|
|
|
2-ta’rif. Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa, u
|
| |
holda bunday sistema birgalikda deyiladi.
|
|
|
|
|
|
|
x − y = 2,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3, y =1
|
|
|
1-misol.
|
2 x + y = 7
|
sistema birgalikda chunki sistema
|
yechimga
|
|
|
|
|
ega.
3-ta’rif. Bitta ham yechimga ega boʻlmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda boʻlmagan sistema deyiladi.
x + y + z =1,
|
|
|
|
|
= 5
|
|
|
2-misol.3 x + 3 y + 3 z
|
sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli
|
|
|
|
|
birgalikda emas.
4-ta’rif. Birgalikda boʻlgan sistema yagona yechimga ega boʻlsa, aniq sistema va cheksiz koʻp yechimga ega boʻlsa aniqmas sistema deyiladi.
x − y =1,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
2 x − 2 y = 2,
|
|
|
|
|
| |
3 x − 3 y = 3
|
sistema birgalikda,
|
ammo aniqmas,
|
chunki
|
bu sistema
|
|
3-misol.
|
|
|
x = , y = −1 +
|
koʻrinishdagi cheksiz koʻp
|
yechimga ega,
|
bunda
|
-ixtiyoriy
|
|
haqiqiy son.
(A| B)
5-ta’rif. Birgalikda boʻlgan tenglamalar sistemasilari bir xil yechimlar tizimiga ega boʻlsa, bunday sistemalar ekvivalent sistemalar deyiladi.
4-misol. Quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini qaraymiz
|
2 x + 3 y = 5
|
|
|
|
|
|
|
|
( x , y) = (1,1)
|
|
|
x + 2 y = 3
|
(a) tenglamalar sistemasining yechimi
|
.
|
|
|
|
|
| |
3 x − 2 y =1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
3 x + y = 4
|
|
( x , y) = (1,1)
|
|
|
|
(b) tenglamalar sistemasining yechimi
|
.
|
|
|
|
|
|
(a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.
Izoh: Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa koʻpaytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qoʻshish bilan hosil boʻlgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent boʻladi.
5-misol.
x + 3 y = 5
|
|
|
| |
3 x − y = 5
|
(a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga koʻpaytirib 2-
| |
tenglamaga qoʻshib quyidagini hosil qilamiz:
|
x + 3 y = 5
|
|
|
| |
−10 y = −10
|
(b) natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent.
|
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin.
Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligining zaruriy va yetarli sharti (Kroneker-Kapelli teoremasi).
1-teorema (Kroneker-Kapelli teoremasi). Chiziqli tenglamalar sistemasi
birgalikda bo‘lishi uchun uning A asosiy matritsasi va kengaytirilgan
matritsalarining ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda uning
biror yechimi mavjud va x1 = 1 ,x2 = 2 ,...,xn
|
= n
|
dan iborat bo‘lsin.
|
|
| |
Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga
|
| |
qo‘ysak:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
