ai1 1 + ai 2 2 + L + ain n = bi ,
|
i =1, 2,...,m (2)
| | | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | |
ega bo‘lamiz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:
|
|
|
|
a11
|
|
|
|
a12
|
|
|
a1n
|
|
b1
|
|
|
|
|
a
|
|
+
|
|
a
|
|
+ L +
|
a
|
|
b
|
|
|
|
|
21
|
|
|
|
22
|
|
|
2 n
|
|
=
|
2
|
, i =1,2,...,m
|
| | |
1
|
|
M
|
|
2
|
|
M
|
|
|
n
|
M
|
|
M
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1
|
|
|
|
am 2
|
|
|
amn
|
|
bm
|
|
(3)
|
|
Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,
r (A ) = r (A B)
(asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular (A B) (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi r ta ustun bazis bo‘lsin.
Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:
|
a11
|
|
|
a12
|
|
|
a1r
|
b1
|
|
|
|
a
|
|
+
|
a
|
|
+ L +
|
a
|
|
b
|
|
|
|
21
|
|
|
22
|
|
|
2 r
|
=
|
2
|
|
| |
1
|
|
M
|
|
2
|
M
|
|
rM
|
|
M
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1
|
|
|
am 2
|
|
|
amr
|
bm
|
|
munosabatni qanoatlantiruvchi 1 , 2 ,..., r lar
|
mavjudligini bildiradi. Oxirgi
| |
munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent:
|
|
|
|
ai1 1 + ai 2 2 + L + air r = bi ,
|
i =1, 2,...,m
|
| |
Agar (1) tenglamalar sistemasiga
|
|
|
|
x1 = 1 ,x2 = 2 ,...,xr
|
= r ,xr +1 = 0 ,...,xn
|
= 0, (4)
| |
qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi
|
(2)
|
ga aylanadi.
|
Bundan
|
noma’lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Kroneker - Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar
sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan (A B)
matritsasining ranglari teng. r = r (A ) = r ( A B) qiymatni berilgan sistemaning rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga
mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz.
Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.
2-teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga ekvivalent.
x1 ,..., xr
Soddalik uchun (1) sistemada birinchi r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin.
Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan:
ai1 x1 + ai 2 x2 + L + ain xn = bi , i =1, 2,...,r (5)
bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun
tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli.
O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni r n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi.
Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:
r = n ;
r = n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin.
Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz Ab X = Bb . Bunda Ab bazis minorga mos
matritsa. det( Ab ) 0 bo‘lganligi sababli, Ab−1 mavjud va
= EX = Ab−1 Ab X = Ab−1 ( Ab X ) = Ab−1B
tenglik yagona yechimni ifodalaydi.
r n bo‘lsin. Tenglamalarda x1 , x2 ,..., xr bazis noma’lumlar qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema:
ai1 x1 + ai 2 x2 + L + air xr = bi − air +1 xr +1 − L − ain xn . (5)
ko‘rinishni oladi.
Agar erki xr , xr +1 ,..., xn noma’lumlarga biror r +1,..., n sonli qiymatlarni bersak,
u holda o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu
sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.
Izoh: Shunday qilib:
1). rangA rangA bo‘lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda emas;
2). rangA = rangA = r = n
ega;
3). rangA = rang A = r n yechimga ega.
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p
Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi.
6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xom ashyo
|
Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari
|
Xom ashyo
|
|
|
|
turlari
|
zahirasi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
|
|
B
|
C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
5
|
|
12
|
7
|
|
2000
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
10
|
|
6
|
8
|
|
1660
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
9
|
|
11
|
4
|
|
2070
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.
|
