|
-§. Ikki karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish
|
| bet | 4/8 | | Sana | 18.04.2023 | | Hajmi | 0.64 Mb. | | #52430 |
Bog'liq Reja Kirish i-bob кўпёқлар, Maqola xalqaro OAK 2023, Maqola Ipafak 5.43, 1-¼áΩαπºá ß½á⌐ñ, 12 - ma’ruza. Tarmoq operatsion tizimlarining arxitekturasi., 17106763542-§. Ikki karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish.
Oxy hamda Ouv koordinatalar sistemasida mos ravishda (D) va ( sohalarni qaraylik. Bu sohalarning chegaralari sodda, bo’lakli-silliq chiziqlardan iborat bo’lsin.
f(x,y) funksiya (D) sohada berilgan va uning chekli karrali integrali
mavjud bo’lsin. Bu integralda o’zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz:
(2) akslantirish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
10. ( ni (D) ga o’zaro bir qiymatli akslantiradi.
20. funksiyalar ( sohada uzluksiz, barcha xususiy hosilalarga ega va bu xususiy hosilalar ham uzluksiz.
F(x,y) funksiya (D) sohada berilgan va uzluksiz bo’lib, (2) akslantirish 10-20 shartlarni qanoatlantirsin. U holda
formula o’rinli, bu yerda
(2) sistemaning Yakobianidir.
(3) formula ikki karrali integrallarda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.
8-misol. Ushbu
integral hisoblang.
Bunda ( 2: integrallash sohasini chizmada ifodalaymiz (7-chizma).
almashtirishni bajaramiz.Natijada berilgan sohaning obrozi
bo’lib, Yakobian esa
ga teng bo’ladi
Demak,
9-misol. Ushbu
Integralda qutb koordinatalar sistemasiga o’tib, uni takroriy integralga keltiring.
almashtirish natijasida topamiz:
10-misol.Ushbu
integralni hisoblang.
9-misoldan foydalangan holda, integrallash sohasi halqa ekanligini e’tiborga olib,topamiz:
11-misol. Ushbu
integralni hisoblang. Bu yerda
Quyidagi
,
almashtirishni bajaramiz. Qaralyotgan sohaning obrazi quyidagicha
.
bo’ladi. Yakobian esa:
bo’ladi.
12-misol. Ushbu
integralni hisoblang.
Integral ostidagi funksiyaning xossasidan foydalanib, integralni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz
Bu integrallarda qaralyotgan sohani chiziq yordamida ikki bo’lakka ajratamiz, ularning birida musbat, ikkinchisida esa manfiy bo’ladi (8-rasm).
Demak,
13-misol. Ushbu
integral hisoblansin.
Integrallash sohasi tekislikda parabola va to’g’ri chiziq bilan chegaralangandir. 3-teoremaga ko’ra qaralyotgan integral mavjud bo’lib,
bo’ladi (9-chizma). Soha o’qiga nisbatan simmetrikdir.
Demak,
sohaning yuzasida tengligini hisobga olib, topamiz:
Shunday qilib,
14-misol. Ushbu
integralni hisoblang.
Integrallash sohasi koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi tomondan, funksiyasi koordinata tekisligining har bir choragida joylashgan sohasi teng qiymat qabul qiladi.
Demak,
|
| |
