• Das freie Elektronengas
  • Elektrische Leitfähigkeit in Festkörpern




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      1. Elektrische Leitfähigkeit in Festkörpern

    Die entscheidende Eigenschaft elektrisch interessanter Festkörper ist ihr kristalliner Aufbau.

    In der Naturwissenschaft steht kristallin, im Gegensatz zu Glas oder anderen erstarrten, abgeschreckten Schmelzen, für einen regelmäßigen Aufbau der Materie: Man findet im „Kristallgitter“ eine kleinste mit Atomen gefüllte Einheit, die, vervielfältigt und eine neben die andere gestellt, den ganzen Festkörper aufbaut. Bei vielen Metallen enthält diese „Einheitszelle“ nur ein einziges Atom.
    Der regelmäßige Aufbau bewirkt eine für die Festkörper typische Modulation der durch die Überlagerung der einzelnen Bausteine entstehenden Potentiale, in denen sich die Elektronen bewegen. Die Folge davon ist zunächst die Verteilung der Valenzelektronen nach Impulsen und Energie in Art des „Fermi Elektronengases für freie Elektronen“. Dieses Modell wird aber durch die periodischen Potentiale der Atomrümpfe und die Wechselwirkung der Valenzelektronen untereinander modifiziert und verfeinert.
    Die unterschiedlichen elektrischen Eigenschaften der Festkörper, Leiter, Isolator oder Halbleiter, erklären sich aus dem Zusammenspiel von Kristallstruktur und der Anzahl der Valenzelektronen der unterschiedlichen Materialien. Der Einfluß der kristallographischen Struktur auf die physikalischen Eigenschaften ist an den Modifikationen des Kohlenstoffs besonders gut zu erkennen: Kohlenstoff gibt es als isolierenden, harten Diamant oder als weichen, elektrisch leitenden Graphit und in einer weiteren Modifikation als Fulleren.
    Versuch 1 Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit. a) Cu , abnehmend bei Erhöhung der Temperatur) b) Konstantan (Cu-Ni Legierung),gleichbleibend c) Halbleiter, exponentiell steigend mit sinkender Temperatur

        1. Das freie Elektronengas

          1. Die Fermi-Dirac Verteilung

    In Metallen verhalten sich die positiven Ionenrümpfe wie Kugeln mit gleichem Radius, die möglichst dicht gepackt werden. Die Valenzelektronen sind nicht mehr dem einzelnen Atom zuzuordnen, sondern bilden in ihrer Gesamtheit ein „Elektronengas“, das an das Gitter gebunden ist. Der Vergleich mit dem mechanischen Gas bezieht sich auf die freie Beweglichkeit der Elektronen im Volumen des Kristallgitters. Es gibt aber einen entscheidenden Unterschied zum Gas der Mechanik, der die Verteilung der Energiewerte auf die einzelnen Teilchen betrifft.


    Bestimmt man die Energie der zufällig durch ein Beobachtungsvolumen fliegenden einzelnen Teilchen eines mechanischen Gases, dann erkennt man, daß Teilchen mit kleiner Energie sehr oft beobachtet werden, Teilchen mit höherer Energie immer seltener, je höher die Energie gewählt wird. Diese Eigenschaft des Gases wird durch die Boltzmann Verteilung mathematisch formuliert, sie folgt aus Voraussetzungen der klassischen Mechanik.
    Beobachtet man dagegen in einem analogen Experiment die Energie der Teilchen eines „Elektronengases“, dann findet man für alle Energien unterhalb einer Schwelle, der „Fermikante“, praktisch die gleiche Anzahl von Teilchen.



    Abbildung 1 Schema der Boltzmann Verteilung im Gas bei hoher und tiefer Temperatur.




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